


1. találat: ARANYD 2015/2016 Kezdő 3. kategória döntő 3. feladat Témakör: *Kombinatorika (konstrukció) (Azonosító: AD_20152016_k3kdf3f ) Egy 2015×2016-os sakktábla minden négyzetében egy-egy nem negatív egész szám áll (az i-edik sor j-edik mezőjében lévő számot ai,j jelöli). Ezután minden lépésben kiválasztunk egy 2×2-es négyzetet, és az ebben szereplő négy számhoz hozzáadunk egy tetszőlegesen megválasztott (a négy mező esetében azonos) k egész számot úgy, hogy a kapott számok ne legyenek negatívak. Adjunk meg egy olyan egyenletet az ai,j ($ 1\le i\le 2015 $, $ 1\le j\le 2016$) számokra, mint változókra, ami pontosan akkor teljesül, ha véges sok lépéssel elérhető, hogy a táblán szereplő összes szám nullává váljon. Témakör: *Kombinatorika (minimális szám) (Azonosító: AD_20152016_k1k2f3f, AD_20152016_k2k2f3f, AD_20152016_k3k1f3f ) Egy osztályba 6 fiú jár, és közülük az egyik az alábbi történetet mesélte el: Decemberben mindnyájan feleltünk történelembol. Minden számon kérő órán volt egy vagy több felelő közülünk, de olyan is akadt, akit nem kérdezett a tanárnő. Viszont mindegyikünk hallhatta a másik 5 személy feleletét (nem feltétlenül együtt) azon történelem órák valamelyikén, amikor ő éppen nem került kiválasztásra. Adjuk meg, hogy legalább hány történelem órán volt felelés december hónapban ebben az osztályban! Témakör: *Számelmélet (oszthatóság, szám) (Azonosító: AD_20142015_k1kdf1f ) Egy ötjegyű szám minden számjegye különböző. Erre a számra n = 2, 3, 4 és 5 esetén egyaránt teljesül, hogy bárhogyan választunk ki benne n db szomszédos számjegyet, az ezek összeolvasásával kapott n-jegyű szám osztható lesz n-nel. Melyek ezek az ötjegyű számok? Témakör: *Kombinatorika (számjegy) (Azonosító: AD_20142015_k1k1f1f, AD_20142015_k2k1f1f ) Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek néhány számjegyét a szám elejéről (ugyanabban a sorrendben) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? (Például az 1234 nem ilyen, mert a 2341, 3412, 4123 mind különböznek tőle.) Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h2k1f4f ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet. $\sqrt{x^2-3x+3}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-3x+3}}=2\sqrt{x}$
Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20172018_h2k2f3f ) Egy kör metszi egy adott O csúcsú $(\alpha<180^\circ)$ szög szárait, egyiket az A és B, másikat a C és D pontban. (Az A pont O és B között, a C pont O és D között van.) Az adott szög felezője a kört az M és az N pontban metszi. (O-hoz az M van közelebb.) Bizonyítsuk be, hogy az AM ív és az ND ív összege egyenlő az MC ív és a BN ív összegével (a szóbanforgó négy ív az $\alpha$ szárai között van)! Témakör: *Geometria (terület) (Azonosító: AD_20162017_h2k1f3f ) Az AB, AC, BD és CD szakaszok, mint átmérők felé félköríveket rajzoltunk az ábrán látható módon. Fejezzük ki a színezett rész területét a és b segítségével, ha AD = a és BC = b! Témakör: *Számelmélet (osztó) (Azonosító: AD_20152016_h1kdf3f ) 2016 db pozitív szám mindegyike a további 2015 négyzetösszegével egyenlő. Mekkora lehet a legkisebb szám értéke? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h2kdf2f ) Adott$ n\ge 3 $ darab pont a síkon. Nincs közöttük három, amely egy egyenesre illeszkedne. Válasszunk ki az összes lehetséges módon három pontot az adott pontok közül. Az így kapott háromszögek közül a legnagyobb területű területét jelöljük $ T $-vel, a legkisebb területű területét $ t $-vel. Tudjuk, hogy $ \dfrac{T}{t}\le 2 $! Mely n értékekre valósulhat ez meg? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h1k2f1f ) 2 018 000 Ft-ot szeretnénk 1000, 2000, és 5000 Ft-os papírpénzek felhasználásával kizetni. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha mindegyik pénzből elegendően sok van a pénztárcánkban? Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20212022_h2kdf2f ) Adott az $ O $ középpontú $ r $ sugarú $ k $ kör és annak egy $ AB > r $ húrja. $ P $ az $ AB $ húr azon pontja, amelyre $ AP = r $. A $ BP $ szakasz felezőmerőlegese a $ k $ kört a $ C $ és $ D $ pontokban metszi. A $ D $ és $ P $ pontokra illeszkedő egyenesnek és $ k $-nak $ D $-től különböző metszéspontja $ E $. Bizonyítsuk be, hogy a $ CPE $ háromszög szabályos. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20212022_h2k1f4f ) Az x, y, z valós számok teljesítik az alábbi egyenlőséget: $ |x - y| = 2|y - z| = 3|z - x| $ Igazoljuk, hogy $ x = y = z $. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h2kdf1f ) Legyen adott az $ 1 < n \in \mathbb{N}^+ $, és deniáljuk $ k \in {2; \ldots ; n} $ esetén az $ a_k ;\ b_k \in \mathbb{N}^+ $ számokat a következőképpen: $ a_k $ legyen az a legnagyobb pozitív egész, hogy $ k^{a_k} Bizonyítsuk be, hogy ekkor n-re teljesül: $ a_2 + a_3 + \ldots + a_{n_1} + a_n = b_2 + b_3 + \ldots + b{n-1} + b_n $
Témakör: *Számelmélet (Azonosító: AD_20192020_k1k1f3f, AD_20192020_k2k1f3f ) Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek szorzata osztható 10-zel? Témakör: *Egyenlet (negyedfok) (Azonosító: AD_20132014_k1k2f1f, AD_20132014_k2k2f1f, AD_20132014_k3k1f1f ) Oldja meg az alábbi egyenletet a racionális számok halmazán! $\left ( x-1 \right ) \cdot \left ( x-2 \right ) \cdot \left ( x-3 \right ) \cdot \left ( x-4 \right ) = \left ( 2x-1 \right ) \cdot \left ( 2x-2 \right ) \cdot \left ( 2x-3 \right ) \cdot \left ( 2x-4 \right )$ Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20192020_h3kdf2f ) Az $ x $, $ y $, $ z $ pozitív valós számok szorzata 1. Bizonyítsuk be, hogy $ K(x,y,z)=\dfrac{x}{y+z+3}+\dfrac{y}{z+x+3}+\dfrac{z}{x+y+3}\ge \dfrac{3}{5}$
Témakör: *Algebra (egyenletrendszer, egészrész, törtrész) (Azonosító: AD_20132014_k1kdf1f ) Határozza meg azokat az x, y, z valós számokat, amelyek megoldásai az alábbi egyenletrendszernek: $ \begin{align*} x+[y]+\{z\}=3,4 \\ [x]+\{ y \}+z=4,5 \\ \{ x \}+y+ [z]= 5,3 \end{align*} $ ( [a] az a valós szám egészrészét jelöli, azaz azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb, mint a, $\{ a \}$ az a valós szám törtrészét jelöli, azaz az a számnak és a egészrészének a külkönbségét: {a}=a-[a].) Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20202021_k1kdf3f ) Az $ ABCD $ négyzet belsejében felvesszük a $ P $ pontot úgy, hogy az $ ABP $ háromszög olyan egyenlő szárú háromszög legyen, amelynek alapon fekvő szögei $ 15^\circ $-osak. Mekkora a $ CPD $ szög? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: AD_20222023_h1k2f1f ) Legyen $ n $ 3-mal osztható pozitív egész szám. Az $ n - 1, n - 2, \ldots , 2, 1 $ számsorozatból elhagyjuk a 3-mal osztható számokat, majd az első két számot pozitív előjellel, a következő kettőt negatív előjellel, az azután következő kettőt megint pozitív előjellel látjuk el. A kettesével változó előjelezést addig folytatjuk, amíg a számsorozat végére érünk. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott számok összege mindig $ n $-nel lesz egyenlő! Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: AD_20152016_h2k1f2f ) Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az x3−x+p=0 egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1! Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_k1k2f5f, AD_20172018_k2k2f5f, AD_20172018_k3k1f5f ) Az első síknegyedben a ( 0; 0 ) pontból kiindulva sorra vesszük az egész koordinátájú pontokat az ábra szerint. (Tehát például a (2; 1 ) pont a 8-as sorszámot kapja.) a) Határozd meg a ( 12; 2017) pont sorszámát! b) Melyik ponthoz rendeljük a 2018-as sorszámot? Témakör: *Kombinatorika (terület, minimum) (Azonosító: AD_20172018_h1kdf2f ) Bizonyítsuk be, hogy a 2018 elemű $ H = {1!; 2!; 3!; \ldots ; 2017!; 2018!} $ halmazból elhagyhatunk két elemet úgy, hogy a megmaradó 2016 darab elem szorzata négyzetszám legyen! Témakör: *Algebra (egyenlet, négyzetgyök) (Azonosító: AD_20162017_h1k2f3f ) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x}}}$
Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20132014_h1k1f5f ) Egy kocka csúcsait megcímkézzük az $ 1;\ 2;\ \ldots\ ;\ 8$ számokkal (minden címkét pontosan egy csúcsra írunk fel). A kocka egy lapjának értéke: a lapot határoló csúcsokon lévő számok összege. Legfeljebb mekkora lehet egy kocka legkisebb értékű lapjának értéke? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20192020_k1k2f4f, AD_20192020_k2k2f4f, AD_20192020_k3k1f4f ) Egy $ 3 \times 3 $-as táblázat minden mezője fehér vagy szürke színű. Ezt a táblázatot újraszínezzük a - azok a mezők, amelyeknek páros számú (0, 2 vagy 4) oldalszomszédja szürke, szürkék lesznek; Ha például a kiindulási táblázat ez: akkor ezt a táblázatot kapjuk: Témakör: *Számelmélet (utolsó jegy) (Azonosító: AD_20152016_k1k1f2f, AD_20152016_k2k1f2f ) Mi a 20152015 + 20152016 összeg utolsó 6 számjegye? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20222023_h2k1f2f ) A páros és páratlan számokat két külön háromszögbe írjuk a következő módon: i) $ 0 $ $ 2 \qquad 4 $ $ 6 \qquad 8 \qquad 10 $ $ 12 \qquad 14 \qquad16 \qquad 18 $ $.. $
ii) $ 1 $ $ 3 \qquad 5 $ $ 7 \qquad 9 \qquad 11 $ $ 13 \qquad 15 \qquad 17 \qquad19 $ $ .. .$ Mutassuk meg, hogy az első esetben a sorok összege 6-tal osztható szám lesz, míg a második esetben köbszám. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20192020_k1k1f4f, AD_20192020_k2k1f4f ) Oldjuk meg a valós számok halmazán az $\left[\dfrac{x}{ 2} \right]+\left[ \dfrac{2x}{ 3}\right]=x $ egyenletet, ahol $[ x ]$ azt a legnagyobb egész számot jelenti, ami még nem nagyobb, mint x. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: AD_20172018_h3kdf3f ) Legyen $ n $ tetszőleges pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy végtelen sok négyzetszám van, amely előáll $ n $ darab páronként különböző kettőhatvány összegeként (kettőhatványon kettőnek természetes szám kitevőjű hatványát értve)! Témakör: *Algebra (legkiszélsőérték) (Azonosító: AD_20152016_h3k1f4f ) Az a1 ;a2, ... a7 nemnegatív számok összege 1. Tekintsük az alábbi öt mennyiséget: a1 + a2 + a3 , a2 + a3 + a4 , a3 + a4 + a5 , a4 + a5 + a6 , a5 + a6 + a7 . Jelölje ezen öt érték maximumát M. Mekkora lehet M legkisebb értéke?
|
|||||
|