Egy 2015×2016-os sakktábla minden négyzetében egy-egy nem negatív egész szám áll (az i-edik sor j-edik mezőjében lévő számot ai,j jelöli). Ezután minden lépésben kiválasztunk egy 2×2-es négyzetet, és az ebben szereplő négy számhoz hozzáadunk egy tetszőlegesen megválasztott (a négy mező esetében azonos) k egész számot úgy, hogy a kapott számok ne legyenek negatívak. Adjunk meg egy olyan egyenletet az ai,j ($ 1\le i\le 2015 $, $ 1\le j\le 2016$) számokra, mint változókra, ami pontosan akkor teljesül, ha véges sok lépéssel elérhető, hogy a táblán szereplő összes szám nullává váljon.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy osztályba 6 fiú jár, és közülük az egyik az alábbi történetet mesélte el:

Decemberben mindnyájan feleltünk történelembol. Minden számon kérő órán volt egy vagy több felelő közülünk, de olyan is akadt, akit nem kérdezett a tanárnő. Viszont mindegyikünk hallhatta a másik 5 személy feleletét (nem feltétlenül együtt) azon történelem órák valamelyikén, amikor ő éppen nem került kiválasztásra. Adjuk meg, hogy legalább hány történelem órán volt felelés december hónapban ebben az osztályban!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy ötjegyű szám minden számjegye különböző. Erre a számra n = 2, 3, 4 és 5 esetén egyaránt teljesül, hogy bárhogyan választunk ki benne n db szomszédos számjegyet, az ezek összeolvasásával kapott n-jegyű szám osztható lesz n-nel. Melyek ezek az ötjegyű számok?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek néhány számjegyét a szám elejéről (ugyanabban a sorrendben) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? (Például az 1234 nem ilyen, mert a 2341, 3412, 4123 mind különböznek tőle.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet.

$\sqrt{x^2-3x+3}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-3x+3}}=2\sqrt{x}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kör metszi egy adott O csúcsú $(\alpha<180^\circ)$ szög szárait, egyiket az A és B, másikat a C és D pontban. (Az A pont O és B között, a C pont O és D között van.) Az adott szög felezője a kört az M és az N pontban metszi. (O-hoz az M van közelebb.) Bizonyítsuk be, hogy az AM ív és az ND ív összege egyenlő az MC ív és a BN ív összegével (a szóbanforgó négy ív az $\alpha$ szárai között van)!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az AB, AC, BD és CD szakaszok, mint átmérők felé félköríveket rajzoltunk az ábrán látható módon. Fejezzük ki a színezett rész területét a és b segítségével, ha AD = a és BC = b!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

2016 db pozitív szám mindegyike a további 2015 négyzetösszegével egyenlő. Mekkora lehet a legkisebb szám értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott$ n\ge 3 $ darab pont a síkon. Nincs közöttük három, amely egy egyenesre illeszkedne.  Válasszunk ki az összes lehetséges módon három pontot az adott pontok közül. Az így kapott háromszögek közül a legnagyobb területű területét jelöljük $ T $-vel, a legkisebb területű területét $ t $-vel. Tudjuk, hogy $ \dfrac{T}{t}\le 2 $! Mely n értékekre valósulhat ez meg?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

2 018 000 Ft-ot szeretnénk 1000, 2000, és 5000 Ft-os papírpénzek felhasználásával kizetni. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha mindegyik pénzből elegendően sok van a pénztárcánkban?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $ O $ középpontú $ r $ sugarú $ k $ kör és annak egy $ AB > r $ húrja. $ P $ az $ AB $ húr azon pontja, amelyre $ AP = r $. A $ BP $ szakasz felezőmerőlegese a $ k $ kört a $ C $ és $ D $ pontokban metszi. A $ D $ és $ P $ pontokra illeszkedő egyenesnek és $ k $-nak $ D $-től különböző metszéspontja $ E $. Bizonyítsuk be, hogy a $ CPE $ háromszög szabályos.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az x, y, z valós számok teljesítik az alábbi egyenlőséget:

$ |x - y| = 2|y - z| = 3|z - x| $

Igazoljuk, hogy $ x = y = z $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen adott az $ 1 < n \in  \mathbb{N}^+ $, és deniáljuk $ k \in {2; \ldots ; n} $ esetén az $ a_k ;\ b_k  \in  \mathbb{N}^+ $ számokat a következőképpen:

$ a_k $ legyen az a legnagyobb pozitív egész, hogy $ k^{a_k}

Bizonyítsuk be, hogy ekkor n-re teljesül:

$ a_2 + a_3 + \ldots + a_{n_1} + a_n = b_2 + b_3 + \ldots + b{n-1} + b_n $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek szorzata osztható 10-zel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg az alábbi egyenletet a racionális számok halmazán!

$\left ( x-1 \right ) \cdot \left ( x-2 \right ) \cdot \left ( x-3 \right ) \cdot \left ( x-4 \right ) = \left ( 2x-1 \right ) \cdot \left ( 2x-2 \right ) \cdot \left ( 2x-3 \right ) \cdot \left ( 2x-4 \right )$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ x $, $ y $, $ z $ pozitív valós számok szorzata 1. Bizonyítsuk be, hogy

$ K(x,y,z)=\dfrac{x}{y+z+3}+\dfrac{y}{z+x+3}+\dfrac{z}{x+y+3}\ge \dfrac{3}{5}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozza meg azokat az x, y, z valós számokat, amelyek megoldásai az alábbi egyenletrendszernek:

$ \begin{align*} x+[y]+\{z\}=3,4 \\ [x]+\{ y \}+z=4,5 \\ \{ x \}+y+ [z]= 5,3 \end{align*} $

( [a] az a valós szám egészrészét jelöli, azaz azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb, mint a, $\{ a \}$ az a valós szám törtrészét jelöli, azaz az a számnak és a egészrészének a külkönbségét: {a}=a-[a].)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet belsejében felvesszük a $ P $ pontot úgy, hogy az $ ABP $ háromszög olyan egyenlő szárú háromszög legyen, amelynek alapon fekvő szögei $ 15^\circ $-osak. Mekkora a $ CPD $ szög?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n $ 3-mal osztható pozitív egész szám. Az $ n - 1, n - 2, \ldots , 2, 1 $ számsorozatból elhagyjuk a 3-mal osztható számokat, majd az első két számot pozitív előjellel, a következő kettőt negatív előjellel, az azután következő kettőt megint pozitív előjellel látjuk el. A kettesével változó előjelezést addig folytatjuk, amíg a számsorozat végére érünk. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott számok összege mindig $ n $-nel lesz egyenlő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az x³−x+p=0 egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az első síknegyedben a ( 0; 0 ) pontból kiindulva sorra vesszük az egész koordinátájú pontokat az ábra szerint. (Tehát például a (2; 1 ) pont a 8-as sorszámot kapja.)

a) Határozd meg a ( 12; 2017) pont sorszámát!

b) Melyik ponthoz rendeljük a 2018-as sorszámot?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy a 2018 elemű $ H = {1!; 2!; 3!; \ldots ; 2017!; 2018!} $ halmazból elhagyhatunk két elemet úgy, hogy a megmaradó 2016 darab elem szorzata négyzetszám legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x}}}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kocka csúcsait megcímkézzük az $ 1;\ 2;\ \ldots\ ;\ 8$ számokkal (minden címkét pontosan egy csúcsra írunk fel). A kocka egy lapjának értéke: a lapot határoló csúcsokon lévő számok összege. Legfeljebb mekkora lehet egy kocka legkisebb értékű lapjának értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 3 \times 3 $-as táblázat minden mezője fehér vagy szürke színű. Ezt a táblázatot újraszínezzük a
következő szabály szerint:

- azok a mezők, amelyeknek páros számú (0, 2 vagy 4) oldalszomszédja szürke, szürkék lesznek;
- azok a mezők, amelyeknek páratlan számú (1 vagy 3) oldalszomszédja szürke, fehérek lesznek. 

Ha például a kiindulási táblázat ez:

akkor ezt a táblázatot kapjuk:

a) Adjuk meg az összes olyan kiindulási táblázatot, amelyet a fenti módon újraszínezve olyan táblázatot kapunk, amelynek minden mezője szürke!
b) Adjuk meg az összes olyan kiindulási táblázatot, amelyet a fenti módon újraszínezve olyan táblázatot kapunk, amelynek minden mezője fehér!
c) Adjuk meg az összes olyan kiindulási táblázatot, amelyen az újraszínezést 2020-szor egymás után végrehajtva a kapott táblázat minden mezője szürke lesz!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mi a 2015²⁰¹⁵ + 2015²⁰¹⁶ összeg utolsó 6 számjegye?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A páros és páratlan számokat két külön háromszögbe írjuk a következő módon:

i)

$ 0 $

$ 2 \qquad 4 $

$ 6 \qquad 8 \qquad 10 $

$ 12 \qquad 14 \qquad16 \qquad 18 $

$.. $

ii)

$ 1 $

$ 3 \qquad 5 $

$ 7 \qquad 9 \qquad 11 $

$ 13 \qquad 15 \qquad 17 \qquad19 $

$ .. .$

Mutassuk meg, hogy az első esetben a sorok összege 6-tal osztható szám lesz, míg a második esetben köbszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az

$\left[\dfrac{x}{ 2} \right]+\left[ \dfrac{2x}{ 3}\right]=x $

egyenletet, ahol $[ x ]$ azt a legnagyobb egész számot jelenti, ami még nem nagyobb, mint x.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n $ tetszőleges pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy végtelen sok négyzetszám van, amely előáll $ n $ darab páronként különböző kettőhatvány összegeként (kettőhatványon kettőnek természetes szám kitevőjű hatványát értve)!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az a₁ ;a_{2, ...} a₇ nemnegatív számok összege 1. Tekintsük az alábbi öt mennyiséget: a₁ + a₂ + a₃ , a₂ + a₃ + a₄ , a₃ + a₄ + a₅ , a₄ + a₅ + a₆ , a₅ + a₆ + a₇ . Jelölje ezen öt érték maximumát M. Mekkora lehet M legkisebb értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba