Van két számunk:  $ F $ és $ G $. Tudjuk, hogy $ _Fa = 0, 3737\ldots = 0, \dot{3̇}\dot{7̇} $ és $ G_a = 0, 7373 \ldots = 0,\dot{7̇}\dot{3̇} $, ahol $ F_a $ és $ G_a $ az $ F $ és $ G $ számok formái egy $ a $ alapú számrendszerben. Azt is tudjuk, hogy $ F_b = 0, 2525\ldots = 0, \dot{2̇}\dot{5̇} $ és $ G_b = 0, 5252\ldots =0, \dot{5̇}\dot{2̇} $, ahol $ F_b $ és $ G_b $ az $ F $ és $ G $ számok formái egy $ b $ alapú számrendszerben. Határozzuk meg $ a + b $ értékét ($ 10 $-es számrendszerben).

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 60 oldalas könyv oldalai 1, 2, ..., 120 oldalasak. A könyvből azonban néhány oldal elveszett. néhány nappal ezelőtt. A megmaradt oldalakra írt számok összege 7159. Hány oldal veszett el?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen S a 10 000-nél kisebb pozitív egész számok halmaza, amelyek utolsó négy számjegye a 2 számrendszerben megegyezik az 5-ös számrendszerbeli alak utolsó négy számjegyével. Milyen maradékot kapunk, ha az S összes elemének összegét elosztjuk 10000-zel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Elhelyezzünk L alakú triminókat (3 négyzetből álló alakzat) egy 8 × 8-as táblára, ezek nem fedhetik egymást. Mennyi a legkisebb számú triminót tehetünk a táblára úgy, hogy ne lehessen többet lerakni?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 4 × 4-es tábla minden egyes négyzetére egy fehér vagy fekete huszárt teszünk le úgy, hogy minden huszár legalább egy négyzetet lásson mindkét színű huszárt. (Ez azt jelenti, hogy 1 huszárlépésnyire van egy fehér és egy fekete huszártól is.) Hányféle elrendezés létezik, amely megfelel a fenti feltételeknek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A 00-tól 99-ig terjedő számokat egy 10 × 10-es táblára írjuk az ábrán látható módon. Egy huszár kezdi a körútját a 00-nál, és a 99-nél fejezi be, de csak olyan cellákra léphet, amelyekben a szám osztható 3-mal. Nem lép már korábban meglátogatott cellára. Hány cellát látogat meg a leghosszabb ilyen körút során? (Beleértve a 00 és a 99-et.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Gízában a 6 legmagasabb rangú tisztviselő kapott egy piramist. A 6 piramis egymás mellé épült egy 2 × 3 elrendezésben, ahogy az alábbi ábrán is látható. A piramisok alaprajza négyzet alakú, az oldaluk egyenlő oldalú háromszög. oldalhosszúságuk 18 m. A jobb felső sarokban egy bogár (amely a piramisok arcán tud járni) áll, és azt akarja, hogy a legrövidebb úton el akar jutni a szemközti sarokba. (a két sarokpontot az ábrán jelöljük) Ha a hosszúság a legrövidebb út hossza $ d $ méter, mennyi $ d^2 $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy nem derékszögű háromszög oldalait a szokásos $ a $, $ b $, $ c $ jelöléssel jelöljük, a szemben lévő szögek pedig $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $. Mennyi  $ \gamma $ értéke (fokban), ha $ \beta = 2 \cdot \alpha $, és a következő egyenlet érvényes a háromszög oldalaira:

$ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög hozzáírt köreinek sugara $ r_a $, $ r_b $ és $ r_c $, körért körének sugara $ R $. Tudjuk, hogy $ r_a + r_b = 3R $ és $ r_b + r_c = 2R $. Mekkora a háromszög legkisebb szöge?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Roo a kis kockáival játszik; egy nagyobb kockát akar építeni az összes kockából. 25 fehér kockája és 2 piros kis kockája van. Úgy döntött, hogy a piros kockák nem érhetnek egymáshoz, még a széleikkel vagy csúcsaikkal sem. Hány különböző nagy kockát kaphat? (Két nagykocka akkor különböző, ha nem tudja őket egymásból átvinni csak forgatások segítségével.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

12 szék van körben elhelyezve, 1-től 12-ig számozva. Hányféleképpen lehet kiválasztani a székek közül néhányat úgy, hogy valahol 3 egymás utáni széket is kiválasszunk?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van egy 49 lapból álló paklink, a kártyák 7 különböző színűek, minden színben 7 lapunk van. Bella véletlenszerűen húz 8 kártyát a pakliból. Tudjuk, hogy a 8 kártya közül, amit kihúzott. minden szín és minden szám legalább egyszer előfordul. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Bella képes eldobni egy kártyát. hogy a megmaradt 7 lap között minden szín és minden szám előforduljon? Adja meg válaszát 100P + Q formában, ahol $ \dfrac{P}{Q} $ válasz tört legegyszerűbb alakja! Ha például $ \dfrac{3}{10} $ a válasz, akkor $ 100P + Q = 310 $-et kell válaszolnod.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

10 fémgolyóból 2 radioaktív. Bármennyi golyó egyetlen mérése csak annyit tud meghatározni, hogy hogy van-e közöttük radioaktív golyó vagy sem. (Ha vannak, egy mérés nem tudja meghatározni, hogy hogy egy vagy több van-e belőlük.) Legalább hány mérést kell végezni ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy melyik a
a 10 golyó közül melyik 2 golyó radioaktív?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsünk egy számsort, amely a 7-nél nagyobb pozitív egész számokból áll 7-től kezdve felfelé haladva. Ahogy Marvin végigmegy a számsoron, minden egyes n pozitív egész számot ellenőriz, és pirosra festi, ha és amennyiben $ \dbinom{n}{7} $ osztható 12-vel. Ahogy Marvin végighalad a számsoron, a pirosra festett kockás számok aránya közelít egy p számhoz. Ha p a legegyszerűbb alakja r/q , mekkora q értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

2022 ember ül egy kerek asztal körül. Adunk Andrew-nak egy cukorkát. Aztán adunk egy cukorkát annak, aki aki Andrew-tól jobbra ül. Aztán adunk egy cukorkát annak, aki (1+2) székkel arrébb ül Andrew-tól (a jobbra), majd annak, aki (1 + 2 + 3) székkel arrébb ül, és így tovább... végül adunk egy cukorkát annak, aki Andrew-tól (jobbra) távolabb ül. (1 + 2 + - - - - - + 2022) székkel jobbra ül Andrew-tól. Hányan kaptak cukorkát?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba