Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Kvant 1995 tábor

Az 1995. évi nyári tábor feladatai

Egyéni verseny (Olimpia)

T. 156 Egy diáktalálkozón 19 tanuló vett részt. A találkozót követő napokban elkezdtek egymással levelezni, mindegyikük 2 vagy 4 levelet adott fel. Lehetséges-e, hogy mindegyikük pontosan 3 levelet kapott?
Megoldás
T. 157 Az a oldalú ABCD négyzet AB oldalára befelé állítottuk az ABE szabályos háromszöget. Határozd meg a CDE háromszög körülírt körének sugarát!
Megoldás
T. 158 Határozd meg azt a legkisebb 1995-tel osztható természetes számot, amelynek bármely két másodszomszédos számjegye egyenlő egymással.
Megoldás
T. 159 Mutasd meg, hogy az 1!ˇ2!ˇ3!ˇ...ˇ98!ˇ99!ˇ100! szorzat 100 tényezője közül el lehet úgy hagyni egyet, hogy a maradék 99 tényező szorzata négyzetszám legyen!
Megoldás
T. 160 Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AC átfogóján úgy vettük fel az M és K pontokat, hogy M az A és K közé essen és, hogy az MBK> 90º-os legyen. Bizonyítsd be, hogy MK 2 = AM 2 + KC 2.
Megoldás
T. 161 Ki lehet-e jelölni a 13x13-as táblázatban néhány mezőt úgy, hogy a táblázat minden mezője pontosan egy kijelölt mezővel legyen oldalával határos?
Megoldás
T. 162 Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha tudjuk, hogy AB = BC és azt is, hogy az AT magasság fele olyan hosszú, mint az AH szögfelező!
Megoldás

Szakkörök közti vetélkedők

1. változat

T. 163 Bizonyítsd be, hogy ha az a, b, c egész számok olyanok, hogy az

tört értéke is egész szám, akkor is egész!
Megoldás
T. 164 Színezd ki a 3x3-as táblázat mezőit minél több színnel úgy, hogy bármely két használt színhez található legyen egy-egy ilyen színű, oldalukkal szomszédos mező. (Az egyes mezőknek csak egyféle színe lehet!)
Megoldás
T. 165 Kilenc szám van a táblán: egy háromszög három magasságának, három súlyvonalának és három szögfelezőjének hossza. Bizonyítsd be, hogy ha a kilenc szám között csak legfeljebb négy különböző van, akkor a háromszög egyenlő szárú!
Megoldás
T. 166 Lehet-e 13 egymást követő természetes szám négyzetösszege négyzetszám?
Megoldás
T. 167 A Bergengóc Országgyűlés 100 képviselője a Parlament nagytermének 10 padsorában 10 oszlopban foglal helyet. A küldötteknek mind különböző a fizetése. Minden képviselő megkérdezi szomszédait (a maga mellett, előtt, mögött ülőket és az átlós szomszédait is, összesen tehát legfeljebb 8-at), hogy mennyi a fizetésük. A küldöttek meglehetősen irigyek: csak azok elégedettek a bérükkel, akiknek legfeljebb egy olyan szomszédja van, aki többet keres náluk. Legfeljebb hány olyan képviselő lehet a Parlamentben, aki meg van elégedve a fizetésével?
Megoldás
T. 168 Az egyfordulós, körmérkőzéses röplabda bajnokság végén kiderült, hogy a résztvevő csapatokat k csoportba lehet osztani úgy, hogy a csoportot alkotó csapatok győzelmeinek számát összeadva minden csoport esetén ugyanazt az összeget kapjuk. Határozd meg k értékét, ha tudjuk, hogy az első csoport 1 csapatból, a második 2-ből, ... , a k-adik k csapatból áll!
Megoldás
T. 169 Írj az azonos betűk helyére egyforma, a különböző betűk helyére különböző számjegyeket úgy, hogy teljesüljön az összeadás: SONK,A + SONK,A = MALAC.
Megoldás

2. változat

T. 170 Egy játék táblája 1995 mezőből áll, amelyek körben helyezkednek el. Minden mezőbe egy-egy természetes szám van írva. Az egyik mezőn egy bábú áll. Egy lépés- ben a bábút annyi mezővel visszük arrébb az óra járásának irányában, amennyi a kiindulási mezőre volt írva. Egyúttal az érkezési mezőre írt számot eggyel megnöveljük. Így haladunk tovább. Igaz-e, hogy előbb vagy utóbb a bábú bejárja a tábla összes mezőjét?
Megoldás
T. 171 Bizonyítsd be, hogy ha xy + z = yz + x = zx + y, akkor (x - y)(y - z)(z - x) = 0.
Megoldás
T. 172 Egy játék táblája 100 000 egymás mellé rajzolt négyzetből áll. A négyzetek kezdetben üresek. Ketten játszanak, felváltva lépnek. Kezdő kiválaszt két tetszőleges üres négyzetet és egy-egy "x”-et rajzol rájuk. Második akárhány, egymás melletti "x”-et kiradírozhat (de üres négyzeten nem ugorhat át). Alább egy játék első néhány lépése látható:

Kezdő nyer, ha valamelyik lépése után 13 szomszédos négyzetben is "x” van. Tud-e nyerni Kezdő, ha Második ügyesen játszik?
Megoldás
T. 173 Tizenkét ember ül egy asztal körül: lovagok és lókötők. Így szólt mindegyikük:
mindenki – esetleg rajtam és szomszédaimon kívül – lókötő. Hány lovag ül az asztalnál, ha tudjuk, hogy a lókötők mindig hazudnak, a lovagok pedig mindig igazat mondanak?
Megoldás
T. 174 Az ABC háromszögben az A csúcsnál fekvő belső szög 60º-os, a BM súlyvonal pedig egyenlő hosszú a CN magassággal. Határozd meg a háromszög többi szögét!
Megoldás
T. 175 Van-e olyan természetes szám, amely éppen 1995-ször akkora, mint prímosztóinak összege?
Megoldás
T. 176 Egy ötjegyű számot, amely csupa különböző számjegyből áll, megszoroztunk néggyel. Így egy olyan ötjegyű számot kaptunk, amelyet ugyanazok a számjegyek alkotnak, de most épp fordított sorrendben. Melyik ez a szám?
Megoldás
T. 177 Fel lehet-e osztani a négyzethálós papírra rajzolt 1995x1995-ös négyzetet a négyzetháló vonalai mentén 10 000 olyan téglalapra, amelyeknek az átlói mind egyenlő hosszúak?
Megoldás

3. változat

T. 178 Keress 6 olyan pontot a síkon, amelyek közül bármely 5 letakarható két darab egységnyi átlójú négyzetlappal, de mind a 6 nem fedhető le 2 db egységnyi átmérőjű körlappal!
Megoldás
T. 179 Az ABC háromszög A-nál fekvő belső szöge 30º, a BM súlyvonal pedig egyenlő a BC oldallal. Határozd meg a háromszög belső szögeit!
Megoldás
T. 180 Egy hatjegyű szám első jegye 1-es. Ha ezt a számjegyet áttesszük a szám végére, akkor a szám a háromszorosára nő. Melyik ez a szám? És ha nem tesszük föl, hogy a szám hatjegyű?
Megoldás
T. 181 Keresd meg az összes olyan a, b, c természetes számokból álló számhármast, amelyre a+b+c prím és (a2+b2+c2) osztható (ab + bc + ca)-val!
Megoldás
T. 182 Egy nxn-es sakktábla (n ³ 3) bal alsó sarkában áll egy huszár. Tudjuk, hogy a legkisebb lépésszám, amivel a huszár átjuthat a jobb fölső sarokba megegyezik a legkisebb lépésszámmal, amivel a jobb alsó sarokba juthat. Mekkora lehet n?
Megoldás
T. 183 Egy parasztnak volt egy kis csikója, egy kancája és egy kecskéje. Volt neki ezeken kívül még egy kazalnyi szénája és egy kamaszka szép lánya. A leányka kiszámolta, hogy a kazalnyi széna elég a kecskének és a csikónak 1 hónapra, a csikónak és a kancának 3/4 hónapra vagy a kancának és a kecskének 1/3 hónapra. Papája szerint a leány rosszul tanult az iskolában. Igaza volt-e?
Megoldás
T. 184 A táblán egy csupa 7-esből álló természetes szám állt. Peti letörölte a szám utolsó jegyét, a kapott számot megszorozta hárommal és a szorzathoz hozzáadta az előbb letörölt számot. Mindezeket addig ismételgette, míg egy egyjegyű számot kapott. Mi lehetett ez?
Megoldás
T. 185 15 lámpa egy körben helyezkedik el. Mindegyik lámpa vagy ég vagy nem ég.

Egy lépésben megváltoztathatjuk három egymást követő lámpa állapotát: az égőket leoltjuk, amelyik nem égett, azt fölkapcsoljuk. El lehet-e érni, hogy minden lámpa ég- jen, ha kezdetben csak egy égett?
Megoldás

T. 186 Az ABC háromszögben AB = BC és a B-ből induló magasság hossza fele az A-ból induló szögfelezőének. Határozd meg az ABC háromszög szögeit!
Megoldás
T. 187 Az ABC derékszögű háromszögben az AC befogó hossza 3 egység, míg a BC befogóé 4 egység volt. Az A pontot elmozdítottuk a BC egyenessel párhuzamosan. Ezután a B pontot mozgattuk el az AC egyenessel párhuzamosan, végül a C helyzetét változtattuk meg AB-vel párhuzamosan. Így olyan háromszöghöz jutottunk, amelyben B-nél lett derékszög, az AB szakasz hossza pedig 1 egységnyi lett. Milyen hosszú lett a BC szakasz?
Megoldás
T. 188 Egy körön szeretnénk elhelyezni 8 számot úgy, hogy mindegyik egyenlő legyen az óra járása szerint utána következő három szám összegével. Hány megoldás van?
Megoldás
T. 189 Írd föl az 1, 1/2, 1/3, ... 1/10 számokat valamilyen sorrendben és tegyél közéjük műveleti jeleket úgy, hogy 0-t kapj eredményül!
Megoldás
T. 190 Föl lehet-e osztani egy négyzetet egy ezerszögre és 199 ötszögre?
Megoldás
T. 191 Egy 5x5-ös táblázat mezőit négy színnel színeztük ki úgy, hogy bármelyik 2x2-es részben mind a négy szín előforduljon. Legfeljebb hányszor fordulhat elő egy szín az 5x5-ös táblázatban?
Megoldás
T. 192 Hat focicsapat körmérkőzéses tornán vett részt. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. A bajnokság végén az egyes csapatok 12, 10, 9, 8, 7 illetve 6 pontot gyűjtöttek össze. Hány pont járt a győzelemért, ha döntetlenért 1, vereség esetén 0 pontot kapott minden csapat?
Megoldás
T. 193 Adott három természetes szám, amelyek közül bármelyik kettő összege prím. Bizonyítsd be, hogy az adott számok között vannak egyenlők.
Megoldás

5. változat

T. 194 Az A és B természetes számok közül az egyik jegyeinek összege 1993, a másik jegyeinek összege pedig 1994. Lehetséges-e, hogy A+B jegyeinek összege 1995?
Megoldás
T. 195 Fel lehet-e osztani egy négyzetet háromszögekre úgy, hogy mindegyik háromszög három máik háromszöggel legyen határos (az oldala mentén)?
Megoldás
T. 196 A felsőosztályos fiútestvér így szólt húgocskájához: "Hány napig voltál épp
harmad annyi éves, mint én?”. "Három napig” -válaszolta húga. "És negyedannyi éves?”
- "4 napig. "No és hatodannyi éves?” Ezen a kishúg már elgondolkodott. Tudta, hogy voltak ilyen napok, de hogy hány? Segíts neki válaszolni!
Megoldás
T. 197 Van-e két olyan konvex négyszög, amelyek bármelyikének bármelyik oldala rajta van a másik négyszög valamelyik oldalának felezőmerőlegesén?
Megoldás
T. 198 Be lehet-e helyettesíteni az 1, 2, 3, 4, 5 számokat az a, b, c, d, e változók helyébe úgy, hogy teljesüljön az
(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)=(a+c)(c+e)(e+b)(b+d)(d+a)
összefüggés?
Megoldás
T. 199 Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely két kétjegyű egész szám hányadosának 100-szorosa?
Megoldás
T. 200 Ketten játszanak. A játékhoz szükség van 1800 színes korongra, 18 szín mindegyikéből 100-ra, továbbá egy 9×9-es táblára. Kezdőnek csak az a dolga, hogy kiválasszon egy korongot és azt Másodiknak adja. Második a kapott korongot a táblára helyezi. Ha öt ugyanolyan színű korong egy sorban vagy egy oszlopban egymás mellé kerül, akkor leveszik őket a tábláról és többé nem is kerülnek vissza a játékba. Ha Második a kapott korongot már sehová se tudja letenni, akkor vesztett. Kezdő pe- dig akkor veszít, ha már minden korongja elfogyott. Kinek van nyerő stratégiája?
Megoldás
T. 201 Lehetséges-e, hogy egy háromszög egyik csúcsához tartozó szögfelezője, egy másik csúcsához tartozó magasságvonala és a harmadik csúcsból induló súlyvonala egy (nem nulla területű) szabályos háromszöget határol?
Megoldás

6. változat

T. 202 Tíz nem feltétlenül különböző szám van a táblán. Tudjuk, hogy bármelyik három számtani közepe is a táblán van. Bizonyítsd be, hogy ez csak akkor lehetséges, ha ezek a számok mind egyenlőek.
Megoldás
T. 203 Föl lehet-e írni az 1, 2, 3, ... 64 számokat a sakktábla mezőire úgy, hogy semelyik két oldalával vagy csúcsával határos mezőn álló két szám összege se legyen oszt- ható 4-gyel?
Megoldás
T. 204 Keresd meg az ABCD négyzet belsejében az összes olyan P pontot, amelyre

PA + PC= PB + PD.


Megoldás
T. 205 Az ABC háromszög A csúcsánál tompaszög van és az AB, AC egyenesekre A-ban állított merőlegesek az BC oldalt három egyenlő részre osztják. Határozd meg az ABC háromszög szögeit.
Megoldás
T. 206 Töltsd ki a megadott táblázat üres mezőit az A, J, K, N, Ó betűkkel úgy, hogy mindegyik sorban, mindegyik oszlopban és mind a két átlóban mindegyik betű előforduljon.
Megoldás
T. 207 Bizonyítsd be, hogy ha az 100...01 alakú A szám osztható 19-cel, akkor 13-mal is osztható.
Megoldás
T. 208 Néhány ötven literes hordót teletöltöttek kvásszal. Ha 40 literes hordókba töltötték volna az italt, akkor 5 hordóval többre lett volna szükség, de az egyik nem lett volna tele. Ha viszont 70 literes hordókba töltötték volna, akkor 4 hordóval többre lett volna szükség, de akkor is lett volna egy, amelyik nem megy tele. Hány liter a kvász mennyisége?
Megoldás
T. 209 Ketten játszanak, felváltva húzzák be egy szabályos 1995-szög egy-egy átlóját. Tilos olyan átlót behúzni, amely metsz egy már korábban berajzoltat. Az veszít, akinek a lépése után létrejön egy olyan négyszög, amelynek egyik átlója sincs behúzva. Kinek van nyerő stratégiája?
Megoldás
T. 210 Lehet-e egy kocka csúcsaihoz különböző számokat írni úgy, hogy épp akkora Legyen mindegyik szám, mint a kockán él mentén vele szomszédos másik három szám összege?
Megoldás
T. 211 Egy téglalap alakú papírból két egybevágó kört vágtunk ki. Melyik egyenes mentén lehet úgy szétvágni a papírt, hogy két egyenlő területű részre essen szét?
Megoldás
T. 212 András 1018-kor indult A helységből, és egyenletes sebességgel haladva 1330-ra ért B-be. Ugyanezen a napon 900-kor indult el Bence B-ből és ugyanazon az úton, de ellenkező irányba tartva, mint András, egyenletes sebességgel haladt, és 1140-re ért A-ba. Az utat egy folyó keresztezte. András és Bence egyszerre értek a hídhoz, de András egy perccel később ért át rajta, mint Bence. Mikor érték el a hidat?
Megoldás
T. 213 Egy 1995-oldalú zárt töröttvonal csúcsai egyben egy szabályos 1995-szög csúcsai is. Bizonyítsd be, hogy a töröttvonalnak van három egyenlő hosszú oldala.
Megoldás
T. 214 Lehetséges-e olyan társaság, amelyben mindenkinek pontosan 6 barátja van, és bármely két embernek éppen 2 közös barátja van?
Megoldás
T. 215 Ketten játszanak egy "végtelen” négyzethálós papíron: felváltva színezik be a négyzetek egy-egy oldalát. Nyolcféle színt használhatnak. Kezdő arra törekszik, hogy létrejöjjön egy olyan zárt töröttvonal, amelynek bármely két szomszédos oldala különböző színű. Meg tudja-e ebben akadályozni Második?
Megoldás
T. 216 Jelölje p(n) az n természetes szám számjegyeinek szorzatát. Számold ki a

p(1000) + p(1001) + ? + p(2000) összeg értékét!
Megoldás

T. 217 Egy konvex négyszög oldalait az óra járásának megfelelő irányban 1:2 arányban osztottuk föl. Bizonyítsuk be, hogy ha az osztópontok paralelogramma alkotnak, akkor az eredeti négyszög is paralelogramma!
Megoldás
T. 218 Van-e két olyan természetes szám, amelyek legkisebb közös többszöröse egyenlő az összegükkel?
Megoldás
T. 219 Adott az ABC háromszög. Egy AC-vel párhuzamos egyenes az AB oldalt P-ben, az AM súlyvonalat T-ben, a BC oldalt K-ban metszi. Határozd meg az AC oldal hosszát, ha tudjuk, hogy PT = 3, TK = 5.
Megoldás
T. 220 Egy sakktáblán 8 dominót helyeztek el úgy, hogy mindegyik pontosan két szomszédos mezőt fed. Bizonyítsd be, hogy a sakktáblának van olyan 4 mezőből álló négyzetalakú része, amelyen nincs dominó.
Megoldás
T. 221 Egy 7×7-es táblázat mezőibe a 0, 1, -1 számokat írták úgy, hogy minden 3×3-as négyzetben a számok összege 0. Legfeljebb mekkora lehet a táblázatban található összes szám összege?
Megoldás
T. 222 Bizonyítsd be, hogy 19942 + 19942 ×19952 +19952 négyzetszám!
Megoldás
T. 223

Lehetséges-e olyan társaság, amelyben mindenkinek pontosan 5 barátja van, és bármely két embernek éppen 2 közös barátja van?
Megoldás

T. 224 Van-e olyan konvex hétszög, amelyben mindegyik átló merőleges valamelyik másik átlóra?
Megoldás
T. 225 Téglalapokra szeretnénk szétvágni az ábrán látható rostélyt. Legkevesebb hány téglalap keletkezik, ha csak a négyzetháló vonalai mentén vághatunk?
Megoldás
Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.