Póta Balázs, a Révai Miklós Gimnázium 12. osztályos tanulójának megoldása

Az ABC háromszög szögeit a szokásos módon jelöljük. Tükrözzük az A'B'C' háromszöget a B'C'

oldal felezőpontjára, a tükörképet jelöljük Q-val. A tükrözés szögtartó tulajdonsága miatt

. 

Vegyük észre, hogy az AC’PB’ négyszögben a B’ és C’ csúcsoknál derékszögek vannak, ezért a négyszög

húrnégyszög. Ebből adódik, hogy 

.

Vizsgáljuk meg a QC’A’B’ négyszöget! Ebben az A’ és Q csúcsoknál lévő szögek összege 180°, így a négyszög húrnégyszög. Ez azt is jelenti, hogy a P pont E-re vonatkozó tükörképe illeszkedik az A’B’C’ háromszög köré írható körre.

Az animáció indítása

Ugyanígy beláthatjuk, hogy ha a P pontot az A’C’ oldal F, vagy az A’B’ oldal G felezőpontjára tükrözzük,

akkor olyan R, S pontokhoz jutunk, amelyek szintén illeszkednek az A’B’C’ háromszög körülírt körére,

azaz a P pontnak mindhárom oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe rajta van az A’B’C’

háromszög köré írható körén. Ismert, hogy a háromszög magasságpontja rendelkezik ezzel a

tulajdonsággal, ezért a P pont lehet az A’B’C’ háromszög magasságpontja. Más pont viszont nem lehet.

Ennek igazolásához tekintsünk egy P pontot, amelyik illeszkedik a B’C’ szakasz  szögű, valamint

az A’C’ szakasz  szögű megfelelő látókörívére is. A két körívnek legfeljebb két metszéspontja

lehet. Ezek közül egyik a C’ pont, a másik az A’B’C’ háromszög magasságpontja. Ebből valóban

következik, hogy más pont nem jöhet szóba.

Eddigi gondolatmenetünk alapján P az A’B’C’ háromszög magasságpontja, ezért az A’P, B’P és C’P

egyenesek a háromszög magasságvonalai. Ebből azonnal következik, hogy A’B’ és AB, B’C’ és BC,

valamint C’A’ és CA párhuzamosak egymással. Ekkor viszont az A’B’C és a BAC háromszögek hasonlók

egymáshoz, ha hasonlóságuk arányát  jelöli, akkor

 .

Az A’C’B háromszög is hasonló az CAB háromszöghöz, továbbá hasonlóságuk aránya 

,

ezért

 

is teljesül. Végül AC’B’ háromszög is hasonló ABC háromszöghöz, és hasonlóságuk aránya

 ,

ezért

 .

 A már ismert gondolatmenettel láthatjuk, hogy

,

és így , tehát . Az A’B’C’ háromszög csúcsai tehát épp az oldalak felezőpontjaival esnek

egybe, ezért P csak az ABC háromszög köré írt kör középpontja lehet.