Interaktív geometriai feladatgyűjtemény

Menü

Szerkesztési feladatok

Területátalakítások

Szabályos sokszögek

Szélsőérték-feladatok
(Markó Gábor munkája)

Pitagorasz-tétele II.
Az alábbi animáció segítségével emeljünk négyzeteket a derékszögű háromszög oldalaira. Bizonyítsuk be, hogy a két befogóra emelt négyzet területének összege megegyezik az átfogóra emelt négyzet területével.

Az ABC derékszögű háromszög AC és BC befogóira kifelé az ACGD és a BCHE, átfogójára az ABFI négyzetet emeltük az ábra szerint. Az átfogóhoz tartozó magasságvonal talppontja L, a magasságvonal az EH egyenest a J pontban metszi. Ha , akkor is teljesül, hiszen a két szög merőleges szárú szögpárt alkot. Ekkor viszont , hiszen és egyállású szögek. Így viszont az ABC és JCH háromszögek egybevágók, hiszen szögeik megegyeznek, továbbá egy-egy megfelelő oldaluk is egyenlő (CH=BC). Az egybevágóság miatt CJ=AB és JH=AC=CG, amiből viszont következik, hogy a DG egyenes is J-ben metszi a CL magasságvonalat.

Az animáció indítása

A fenti észrevételek birtokában "döntsük meg" a CBEH négyzetet úgy, hogy CB oldalát fixen hagyjuk, HE oldalát pedig ezzel párhuzamosan változtatjuk, figyelve arra, hogy a négyszög a transzformáció során végig paralelogramma maradjon (Szürke síkidom 1. lépés csúszka). A transzformáció után a CBE'J paralelogrammát kapjuk. Az átalakítás legfontosabb tulajdonsága, hogy közben a paralelogramma területe végig ugyanakkora, pontosan megyezik a CBEH négyzet területével, hiszen a CB alap nem változott, és nem változott az ehhez az oldalhoz tartozó magasság sem, mert HE végig a CB-vel párhuzamos egyenesen mozgott. Eszerint a CBE'J paralelogramma területe ugyanakkora, mint a CBEH négyzet területe. Vegyük még észre, hogy a paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, ezért E'B=CJ=AB.

Az animáció indítása

A Szürke síkidom 2. lépés csúszka segítségével a CBE'J paralelogrammát "döntjük" úgy, hogy E'B=AB oldalát fixen hagyjuk, és figyelünk arra, hogy a transzformáció során végig paralelogramma maradjon. A transzformáció végén az LBE'J' téglalapot kapjuk. A téglalap területe tehát ugyanakkora, mint a CBE'J négyszög területe, ami pedig ugyanakkora, mint a CBEH négyzet területe. Az LBE'J' téglalap oldalai LB és E'B=CB.

Az animáció indítása

Az LBE'J' téglalap oldalai ezek szerint ugyanakkorák, mint az alábbi ábrán szereplő L'FBL téglalap oldalai. Ez azt is jelenti, hogy az előbbi téglalap egy eltolással az utóbbi téglalapba vihető, eközben nyilván nem változik meg a területe (Szürke síkidom 3. lépés).

Az animáció indítása

A CBEH négyzet területe tehát ugyanakkora, mint az L'FBL téglalap területe. Hasonló gondolatmenet mutatja, hogy az ACGD négyzet területe megegyezik az IL'LA téglalap területével. Ezzel Pitagorasz-tételét bebizonyítottuk.