Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyekkel a sík hézagmentesen és átfedések nélkül kiparkettázható?

Ebben a feladatban a sík parkettázását egybevágó szabályos sokszögekkel végezzük.

Az n oldalú szabályos sokszög egy belső szöge , ezért ha a parkettázás csomópontjában k darab sokszög találkozik, akkor

,

amiből egyszerűsítés és átrendezés után azt kapjuk, hogy

,

,

majd n-et kifejezve

.

Mivel n egész szám, ezért az utolsó tört is egész, ami csak úgy lehetséges, ha a nevező osztója a 4-nek.

Ebből adódik, hogy , így k értéke 3, 4 vagy 6.

Ha k=3, akkor n=6, a parkettázás csomópontjaiban 3 darab szabályos hatszög találkozik.

Ha k=4, akkor n=4, a parkettázás csomópontjaiban 4 darab négyzet találkozik.

Ha k=6, akkor n=3, a parkettázás csomópontjaiban 6 darab szabályos háromszög találkozik.

Az animáció mutatja, hogy mindegyik pakettázás megvalósítható.

Az animáció indítása