Keressük meg a sík összes olyan síkkitöltését, amely a következő feltételeknek eleget tesz!

•  a kitöltés átfedés nélküli és hézagmentes
• a csomópontok nem lehetnek a kitöltést alkotó sokszögek oldalain belső pontok
• a kitöltésben legalább két különböző oldalszámmal rendelkező szabályos sokszög vesz részt
• minden csomópontnál pontosan három szabályos sokszög érintkezik egymással
• a csomópontoknál az ugyanolyan oldalszámú szabályos sokszögekből mindig ugyanannyi van, és azok ugyanabban a sorrendben követik egymást

Egy korábbi feladatban megvizsgáltuk azokat a síkkitöltéseket, amelyek csak egyfajta szabályos sokszöget használnak. Ilyenből 3 féle létezik: ezek szabályos háromszögekből, négyszögekből vagy hatszögekből építkeznek. 

Ha legalább kétfajta szabályos sokszöget használunk, akkor egy csúcsnál legalább 3, legfeljebb 5 szabályos sokszög érintkezhet. Valóban, hiszen a szabályos sokszögek közül a háromszögnek a legkisebb a belső szöge (60°), ebből pedig pontosan 6 darab kell egy hézagok és átfedések nélküli lefedéshez, ezért 6 sokszögnél több semmiképpen nem vehet részt a kitöltésben. Pontosan 6 sokszög is csak akkor, amikor szabályos háromszögekből építkezünk. A másik oldalról viszont: a csomópontoknál két sokszög nyilván nem elegendő, hiszen minden szabályos sokszög konvex, ezért a szögei 180°-nál kisebbek, így két sokszög hézagmentesen nem tudja egyetlen csomópontnál sem kitölteni a síkot.

Ebben a feladatban azokat a kitöltéseket keressük, amelyeknél minden csomópontnál 3 sokszög találkozik.

Legyen az egy csúcsnál találkozó sokszögek oldalainak száma n, m és k . Ekkor a sokszögek belső szögei rendre

.

A csomópontoknál a kitöltés nem tartalmaz sem hézagot sem átfedést, ezért

,

amiből összevonás, rendezés és egyszerűsítés után

.

Ha most , akkor az  feltétel miatt

,

ami ellentmond a fenti egyenlőségnek. Ebből adódóan n értéke 3, 4, 5 vagy 6.

Vizsgáljuk meg a kitöltésben szereplő n-szöget. Ha n páratlan (az alábbi ábrán n=5, de a gondolatmenet n=3 esetén is érvényes), akkor az n-szög oldalaihoz (az AB oldaltól indulva) rendre egy m, majd egy k oldalú sokszög csatlakozik, végül az A csúcsnál két m oldalú sokszöget találunk. Ebből következik, hogy ha n páratlan, akkor m=k.

Ha n=3, akkor

,

aminek egyetlen megoldása m=12. Ebből a (3, 12, 12) kitöltést kapjuk (a csomópontokban egy szabályos háromszög, valamint két szabályos 12-szög találkozik). Az alábbi animáció mutatja, hogy ez meg is valósítható.

Az animáció indítása

Ha n=5, akkor

,

aminek nincsen egész megoldása.

Vizsgáljuk az n=4 esetet. Ekkor

,

,

amiből azt kapjuk, hogy

,

,

,

A 16-ot két egész szám szorzatára kell bontanunk, ezt csak úgy tehetjük meg, hogy . Az első felbontásból m=5 és k=20, ami lehetetlen (ha van páratlan oldalszámú sokszög a kitöltésben, akkor a másik két sokszögnek ugyanannyi oldala kell, hogy legyen). A második felbontás m=6, k=12-t eredményez, amiből a (4, 6, 12) kitöltést kapjuk. Az alábbi animáció mutatja, hogy ez meg is valósítható.

Az animáció indítása

Az utolsó szorzattá bontásból m=k=8, valamint a (4, 8, 8) síkkitöltés adódik. Az alábbi animáció mutatja, hogy ez is megvalósítható.

Az animáció indítása

Végül vizsgáljuk meg az n=6 esetet. Ekkor

,

illetve

adódik. A sokszögek oldalszámára tett korábbi feltevésünk alapján . Ha , akkor

,

ami lehetetlen, így m=6 marad. Ekkor viszont k=6, így a (6, 6, 6) síkkitöltést kapjuk, ami csak egyfajta sokszöget használ és már korábban is megtaláltuk.