Keressük meg a sík összes olyan síkkitöltését, amely a következő feltételeknek eleget tesz!

•  a kitöltés átfedés nélküli és hézagmentes
• a csomópontok nem lehetnek a kitöltést alkotó sokszögek oldalain belső pontok
• a kitöltésben legalább két különböző oldalszámmal rendelkező szabályos sokszög vesz részt
• minden csomópontnál pontosan négy szabályos sokszög érintkezik egymással
• a csomópontoknál az ugyanolyan oldalszámú szabályos sokszögekből mindig ugyanannyi van, és azok ugyanabban a sorrendben követik egymást

Egy korábbi feladatban megvizsgáltuk azokat a síkkitöltéseket, amelyek csak egyfajta szabályos sokszöget használnak. Ilyenből 3 féle létezik: ezek szabályos háromszögekből, négyszögekből vagy hatszögekből építkeznek. Ha legalább kétfajta szabályos sokszöget használunk, akkor egy csúcsnál legalább 3, legfeljebb 5 szabályos sokszög érintkezhet. Valóban, hiszen a szabályos sokszögek közül a háromszögnek a legkisebb a belső szöge (60°), ebből pedig pontosan 6 darab kell egy hézagok és átfedések nélküli lefedéshez, ezért 6 sokszögnél több semmiképpen nem vehet részt a kitöltésben. Pontosan 6 sokszög is csak akkor, amikor szabályos háromszögekből építkezünk. A másik oldalról viszont: a csomópontoknál két sokszög nyilván nem elegendő, hiszen minden szabályos sokszög konvex, ezért a szögei 180°-nál kisebbek, így két sokszög hézagmentesen nem tudja egyetlen csomópontnál sem kitölteni a síkot. Ebben a feladatban azokat a kitöltéseket keressük, amelyeknél minden csomópontnál 4 sokszög találkozik. Az egy csomópontban 3 szabályos sokszöget tartalmazó síkkitöltéseket egy másik feladatban tanulmányoztuk.

Legyen az egy csúcsnál találkozó sokszögek oldalainak száma n, m és k és l  . Ekkor a sokszögek belső szögei rendre

.

A csomópontoknál a kitöltés nem tartalmaz sem hézagot sem átfedést, ezért

,

amiből összevonás, rendezés és egyszerűsítés után

.

Ha most , akkor az  feltétel miatt

,

ami ellentmond a fenti egyenlőségnek. Ebből adódóan n értéke 3 vagy 4.

Vizsgáljuk ezúttal az n=4 esetet, amikor a legkevesebb oldalt tartalmazó sokszög négyzet. Ekkor

,

amiből rendezés után azt kapjuk, hogy , majd  miatt hogy m=4. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva

amiből , végül k=4 adódik. Ebből már azonnal következik, hogy l=4. A sík (4, 4, 4, 4) kitöltését, azaz a négyzetrácsot kapjuk. Ez a kitöltés a feladat feltételeinek nem felel meg (csak egyféle sokszöget használ), egy másik feladatban már korábban megkaptuk.

Vizsgáljuk az n=3 esetet. Ekkor

.

Először nézzük meg, hogy mi a helyzet, ha a csomópontban már nincs több háromszög, azaz ha .

Ebben az esetben

,

és így , ezért szükségképpen m=4.

Visszahelyettesítés után

,

,

amiből , azaz k=4, és ezért l=6. Ebben az esetben a (3, 4, 4, 6) síkkitöltést kapjuk, amely az alábbi animáció alapján meg is valósítható.

Az animáció indítása

Most azt az esetet elemezzük, amikor n=3 és a csomópontok további szabályos háromszöget is tartalmaznak, azaz m=3. Ebben az esetben

,

,

,

,

,

.

A 9-et kell tehát két pozitív egész szám szorzatára bontanunk. Ezt megtehetjük úgy, hogy  

Az első esetben k=4 és l=12, a felbontás pedig amit így kapunk a (3, 3, 4, 12), azaz minden csomópontban két háromszög, egy négyzet valamint egy 12-szög találkozik.

Megmutatjuk, hogy ez a kitöltés nem valósítható meg. Először is a 12-szögben nem lehet két szomszédos oldal, amelyek mindegyikéhez négyzet csatlakozik, mert akkor a két oldal közös csúcsában a feltételekkel ellentétben 2 négyzet találkozna. Ezért a 12-szögben van olyan oldal, amelyhez háromszög csatlakozik (az ábrákon AB jelöli). A következő esetek lehetségesek.

• AB-hez és két szomszédjához egy-egy háromszög illeszkedik. Ekkor a kitöltés folytatásához az A és B csúcsoknál egy-egy négyzetet kell leraknunk, végül a Q pontnál két négyzet találkozik, ami lehetetlen.

Az animáció indítása

• Az AB-hez háromszög csatlakozik, két szomszédjához egy-egy négyzet. Ekkor az A és B csúcsokhoz egy-egy háromszöget kell leraknunk, így végül a Q pontnál 3 háromszög csatlakozik egymáshoz, ami lehetetlen.

Az animáció indítása

• AB-hez háromszög, egyik szomszédjához szintén háromszög, másik szomszédjához négyzet csatlakozik. Ebben az esetben az A csúcshoz háromszöget, a B csúcshoz négyzetet kell leraknunk (a Q csúcshoz pedig 12-szöget). Ekkor viszont az A és B csúcsoknál a kitöltést alkotó sokszögek nem ugyanabban a sorrendben követik egymást (A-nál a két háromszög szomszédos, B-nél nem). Ez az eset sem felel meg a feltételeknek.

Az animáció indítása

Ha pedig a 9-et úgy bontjuk szorzattá, hogy mindkét tényező 3, akkor k=l=6 adódik, az ennek megfelelő felbontás pedig a (3, 3, 6, 6), ami megvalósítható és az alábbi animáció szemlélteti.

Az animáció indítása