Keressük meg a sík összes olyan síkkitöltését, amely a következő feltételeknek eleget tesz!

•  a kitöltés átfedés nélküli és hézagmentes
• a csomópontok nem lehetnek a kitöltést alkotó sokszögek oldalain belső pontok
• a kitöltésben legalább két különböző oldalszámmal rendelkező szabályos sokszög vesz részt
• minden csomópontnál pontosan öt szabályos sokszög érintkezik egymással
• a csomópontoknál az ugyanolyan oldalszámú szabályos sokszögekből mindig ugyanannyi van, és azok ugyanabban a sorrendben követik egymást

Egy korábbi feladatban megvizsgáltuk azokat a síkkitöltéseket, amelyek csak egyfajta szabályos sokszöget használnak. 

Azokat a síkkitöltéseket, amelyek 3 féle szabályos sokszöget használnak itt tanulmányoztuk. 

Itt pedig azokat vizsgáltuk, amelyek 4 féle sokszögből építkeznek.

Ebben a feladatban azokat a kitöltéseket keressük, amelyekben minden csomópontnál 5 sokszög találkozik. 

Legyen az egy csúcsnál találkozó sokszögek oldalainak száma n, m és k, l és p . Ekkor a sokszögek belső szögei rendre

.

A csomópontoknál a kitöltés nem tartalmaz sem hézagot sem átfedést, ezért

,

amiből összevonás, rendezés és egyszerűsítés után

.

Ha most , akkor az  feltétel miatt

,

ami ellentmond a fenti egyenlőségnek. Ebből adódóan n értéke csak 3 lehet, azaz a feltételknek megfelelő síkkitöltés biztosan tartalmaz szabályos háromszöget.

Helyettesítsünk n helyére 3-at, így

,

.

Ha , akkor

,

ami nem lehetséges, ezért m=3. A kitöltés tehát legalább két szabályos háromszöget tartalmaz.

Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy

,

.

Ha most , akkor

,

ami lehetetlen, ezért k=3. Eddigi eredményeinket összefoglalva láthatjuk, hogy ha a kitöltésben 5 csúcs találkozik a csomópontokban, akkor azok között legalább 3 szabályos háromszög van. Helyettesítsük vissza k=3-at, így

,

.

Ha l=3, akkor p=6, amiből a (3, 3, 3, 3, 6) síkkitöltést kapjuk, amelynek megvalósíthatóságát az alábbi animációban láthatjuk.

Az animáció indítása

Ha l=4, akkor p=4, amiből a (3, 3, 3, 4, 4) síkkitöltést kapjuk, amely kétféleképp is megvalósítható. Ezeket az alábbi animációkban figyelhetjük meg.

Az animáció indítása

Az animáció indítása

Ha pedig , akkor

,

ami ellentmondás, ezért több megoldása nincs a feladatnak.