Mutassuk meg, hogy a szabályos tizenkétszög területe háromszorosa a sokszög köré írt kör sugarával megegyező oldalú négyzet területének!

A 12-szög középpontját jelöljük O-val. Megmutatjuk, hogy az OEFGHI hatszög (ld. ábra) átdarabolható egy olyan négyzetté, amelynek oldala megegyezik a 12-szög köré írható kör sugarával. Ebből a feladat állítása már következik.

Húzzuk be az OF, OH és HF szakaszokat, amivel az OEFGHI hatszöget négy háromszögre bontjuk. Számoljuk ki a háromszögek szögeit!

Mivel a szabályos 12-szög egy belső szöge 150°, ezért a GHF egyenlőszárú háromszögben

.

Az OEF és a vele egybevágó OHI háromszögekben az O csúcsnál lévő szög , ezért alapjaikon fekvő szögeik 75°-osak. Végül az OFH egyenlőszárú háromszögben az O csúcsnál 60°-os szög van, ezért a háromszög szabályos.

Az animáció indítása

Most forgassuk el az OEF háromszöget az O pont körül -150°-kal, az OHI háromszöget pedig 150°-kal. A forgatások után a két háromszög képe rendre az OLA, illetve az OAB háromszögek. Mivel az L, O, F pontok egy egyenesre illeszkednek, továbbá LO=OF, ezért ha az OLA háromszög csúcsait eltoljuk az  vektorral, akkor az L pont O-ba, az O pont F-be, míg az OLA háromszög az FOM háromszögbe megy át. Ehhez hasonlóan az OAB háromszög  vektorral eltolt képe a HPO háromszög. Az egybevágósági transzformációk során a háromszögek a szögeiket megtartják, így az ábra alapján az OMFHP ötszögben az F és H csúcsoknál derékszögek, míg az O csúcsnál 210°-os szög van.

Az animáció indítása

Most vizsgáljuk az OPM háromszöget! Az előbbi észrevételünk alapján , továbbá PO és AB, OM és LA párhuzamosak egymással (az eltolás miatt). Ugyanakkor a szabályos 12-szög szemközti oldalai is párhuzamosak egymással, így HG is párhuzamos AB-vel, valamint GF is párhuzamos LA-val. Ez azt is jelenti, hogy PO a HG-vel, OM pedig a GF-fel párhuzamos. Persze az említett szakaszok egyenlők is (mind ugyanakkora, mint a 12-szög oldala), ezért az OPM háromszög egybevágó a GHF háromszöggel, sőt megfelelő oldalaik párhuzamossága miatt a GHF háromszög a  vektorral való eltolás után vihető át az OPM háromszögbe. A szögtartás miatt a P és M csúcsoknál is megjelennek a GHF háromszög 15°-os szögei, amiből következik, hogy a PMFH négyszögben nemcsak a H és F csúcsoknál, hanem a P és M csúcsoknál is derékszögek vannak. A PMFH négyszög tehát téglalap, és mivel minden oldala ugyanakkora (mind megegyezik a 12-szög köré írt kör OH sugarával), ezért négyzet is.

Az animáció indítása

Ezzel a feladat állítását beláttuk.