cikk02_megoldas

Ahogyan azt az animáció is mutatja, forgassuk el az APC△-et az A pont körül 60°-kal. Így az APC△ átkerül az AP’C’△ helyzetébe. A forgatás távolságtartása miatt az APP’△ egyenlő szárú, a szárszöge pedig PAP’∢ a forgatás szögével egyenlő, azaz 60°. Ebből következik, hogy az APP’△ szabályos, tehát AP=PP’. Szintén a távolságtartás miatt CP=C’P’, ezért a P pont csúcsoktól vett távolságösszegére AP+BP+CP = BP+PP’+P’C’. Így a BPP’C’ töröttvonal hossza az ABC△ P pontjának az A, B és C csúcsoktól való távolságának összege.

Tudjuk azonban, hogy a C’ pont helyzete a P helyzetétől teljesen független, ezért a BPP’C’ töröttvonal hosszának minimális értéke megegyezik a C’B szakasz hosszával, ugyanis két pont egyenesvonalú összeköttetése mindig a legrövidebb, ezt mutatja az animáció is. Ebből adódik, hogy a PA+PB+PC összeg minimuma éppen a C’B szakasz hosszával egyenlő, ez a minimum pedig úgy érhető el, ha a P és P’ pontok illeszkednek a C’B szakaszra. Legyen P pont minimális helyzete P₀, amelynek helyzete pontosan meg van határozva, mert az AP₀C’∢ 60°-os. Így az AP₀C’∢ mellékszöge, azaz AP₀B∢ 120°-os. A szerkesztésből az is látszik, hogy egyetlen ilyen minimumtulajdonságú pont van, tehát ha A pont helyett B vagy C pontból indulunk ki, a szerkesztés ugyanahhoz a P₀ ponthoz vezet. Ebből az alábbi következtetésre juthatunk. Ez a P₀pont tehát olyan pont, amelyikből a háromszög mindegyik oldala 120°-os szög alatt látszik, valamint egy hegyesszögű háromszögnek a csúcsoktól vett távolságösszege ebben a pontban minimális. Az ilyen tulajdonságú pontot a háromszög izogonális vagy Fermat-féle pontjának nevezzük.