


1. találat: Vegyes feladatok: VF_000546 Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000546 ) Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög AC szárának egy pontja $P$! Mérjük fel $B$-ből a PA szakaszt a CD szár $B$-n túli meghosszabbítására, és jelöljük a kapott pontot $Q$-val! Mi a PQ szakaszok felezőpontjainak halmaza, ha $P$ befutja az AC szakaszt? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_001507 ) Adott a síkon nyolc pont úgy, hogy nincs közöttük négy egy egyenesen. Legfeljebb hány olyan egyenes van, amire az adott pontok közül három illeszkedik? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000390 ) Adott a síkban egy egyenes, égy $n$ cm sugarú kör ($n$ egész szám) és a körben 4$n$ darab 1 cm-es szakasz. Bizonyítsuk be, hogy húzható az adott egyenessel párhuzamosan vagy rá merőlegesen olyan húr, amelynek legalább két szakasszal van közös pontja. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_000569 ) Megegyezhet-e 1998 darab páratlan egész szám egyikének a négyzete a többi 1998 darab szám négyzetének az összegével? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000716 ) Adva van a térben négy pont: $A$, $B$, $C$, $D$. Meghatározandó az $S$ sík úgy, hogy $A$ és $C$ a sík egyik oldalán, $B$ és $D$ a sík másik oldalán legyen, és hogy a négy pont $S$-től egyenlő távolságra legyen. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_000543 ) Bizonyítsa be, hogy ha egy legalább kétjegyű négyzetszám utolsó előtti jegye páratlan, akkor az utolsó számjegy 6. Témakör: *Algebra (exponenciális, nehéz) (Azonosító: VF_001759 ) Oldjuk meg a természeres számok halmazán a következő egyenletet: $ 5^x+2=7^y $
Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001533 ) Az $AB$ körív $F$ felezőpontján átmenő egyenes a körívet másodszor az $F$ és $B$ közötti $M$ pontban metszi. Az $F$ pontból az $AM$ egyenesre állított merőleges talppontját jelölje $K$. Bizonyítsuk be, hogy $AK=\left( {AM+MB} \right)/2$. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_001585 ) Mutassuk meg, hogy az $n!+1,\mbox{ ..., }n!+n$ számok mindegyikének van olyan prímosztója, amely a többi $n$-1 szám egyikének sem osztója. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000445 ) Melyek azok a kétjegyű természetes számok (a tízes számrendszerben felírva), amelyekre maga a szám 17-tel nagyobb, mint a számjegyek szorzata? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001322 ) Az ABCD konvex négyszög AC és BD átlói 6 cm hosszúak és 45\r{ }-os szöget zárnak be az AB oldallal. Mekkora a négyszög területe? Témakör: *Számelmélet (oszthatóság) (Azonosító: VF_000042 ) Bizonyítsuk be, hogy $ 9^{n+2} + 10^{2n+1}$ osztható 91-gyel, ha $n$ tetszés szerinti nem negatív egész szám. Témakör: *Számelmélet (polinom, oszthatóság) (Azonosító: VF_000017 ) Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n $ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right) $ mindig osztható 24-gyel. Témakör: *Algebra (szöveges) (Azonosító: VF_000696 ) Egy üzletben szerdán $\dfrac 7 4$-szer annyi almát adtak el, mint kedden, A két nap alatt eladott alma mennyisége hány százaléka a kedden eladott almának? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000828 ) Az ABC háromszög AB oldalán $A$ és $B$ között választott $C$; pontot kössük össze $C$-vel. Az $A$ szögponton áthaladó és CC$_{1}$-gyel párhuzamos egyenes messe BC-t az $A_{1}$ pontban, a $B $szögponton áthaladó és CC$_{1}$-gyel párhuzamos egyenes messe AC-t a $B_{1}$ pontban. ![]() Bizonyítsuk be, hogy $ \dfrac{1}{AA_1 }+\dfrac{1}{BB_1 }=\dfrac{1}{CC_1 }. $ Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000384 ) Egy síkbeli terepen hat város között 6 út vezet. Az első $A_{1}$-ből $B_{1 }$--be, a második $A_{2}$-ből $B_{2 }$--be, a harmadik pedig $A_{3}$-ből $B_{3 }$--ba. $A_{i}$-ből ($ i$ = 1, 2, 3) egyszerre indul el $f_{i}$ futár ( $i$ = 1, 2, 3) a $B_{i}$ városba ( $i$ = 1, 2, 3), ahol mindegyik futár állandó sebességgel halad. A közös indulás után $a$ óra elteltével $f_{1}$ és $f_{2}$ találkozik, majd ezután $b$ óra elteltével $f_{1}$ és $f_{3}$ találkozik, majd ismét $a$ óra elteltével $f_{2}$ és $f_{3 }$mennek el egymás mellet, végül újabb $b$ óra múlva mindhárman egyszerre érnek célba. Milyen messze lehet $B_{1} \quad B_{3 }$--tól, ha $a \quad >$ 0, $b \quad >$ 0 és $A_{1}A_{2}$ = 1km? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_001698 ) ,,Kockás'' fehér papíron 40 kis négyzetet pirosra festettünk. Igaz-e, hogy mindig ki lehet jelölni a 40 közül 10 piros négyzetet úgy, hogy semelyik kettőnek sincs közös pontja (még közös csúcsa sem!)? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000861 ) Adva vannak valamely ABCD derékszögű négyszög AB és CD, valamint AD és BC oldalainak $M$ és $N$, illetőleg $P$ és $Q$ metszéspontjai egy $e$ egyenessel, továbbá AB oldalának $p$ hossza; szerkesszük meg a derékszögű négyszöget. Mikor oldható meg a feladat, és hány megoldása van? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_000694 ) Egy kocka lapjait zöldre festettük, majd a befestett kockát feldaraboltuk egybevágó kiskockákra. Ezek közül pontosan annyinak van két festett (zöld) lapja, mint amennyinek egy zöld lapja. Hány kiskockára daraboltuk fel az eredeti kockát? Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000959 ) Bizonyítsuk be, hogy az $ 1-\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{array} }} \right)x+\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{array} }} \right)x^2-\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 3 \hfill \\ \end{array} }} \right)x^3+...+(-1)^k\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ k \hfill \\ \end{array} }} \right)x^k $
$ 0\le x<\dfrac{1}{n}. $
$ \left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{array} }} \right),\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{array} }} \right),...,\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ k \hfill \\ \end{array} }} \right) $
Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001649 ) Az ABC hegyesszögű háromszög oldalfelező pontjaiból merőlegeseket állítunk a szomszédos oldalakra. Ezeknek a merőlegeseknek a háromszögön belüli metszéspontjai és a háromszög oldalfelező pontjai egy hatszöget határoznak meg. Hányad része a hatszög területe a háromszög területének? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_000568 ) Milyen tulajdonságú $k$, $m$, $n$, $t$ természetes szám esetén lesz az 1$^{k}$+9$^{m}$+9$^{n}$+7$^{t}$ összeg utolsó számjegye 4? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000387 ) Jelentsen $n$ egész számot. Bizonyítsuk be, hogy ha $ 2+2\sqrt {28n^2+1} $ egész szám, akkor négyzetszám. Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000981 ) Adva van a síkban három egy ponton átmenő és páronként $ 60^\circ $-os szöget bezáró egyenes: $p$, $q$ és $r$, továbbá három hosszúság: $a\le b\le c$. Bizonyítsuk be, hogy azok a pontok, amelyeknek az adott egyenesektől való távolsága rendre kisebb $a$, $b$, illetve $c$-nél, akkor és csak akkor alkotják egy hatszög belsejét, ha a+b $>$ c. Ha a feltétel ki van elégítve, mekkora a hatszög kerülete? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001271 ) Hányféleképpen lehet egy pengőt aprópénzre felváltani? (Aprópénz az 1 ,2 ,10 ,20 és 50 filléres) Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001454 ) Legyen $f(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sin \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<0} \\ {f(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 0} \\ \end{array} }} \right.$ és $g(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\cos \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<1/2} \\ {g(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 1/2} \\ \end{array} }} \right.$ Oldjuk meg az $f(x)=g(x)$ egyenletet! Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_001174 ) Legyenek $p$ és $q$ olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy $ \dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}. $ Bizonyítsuk be, hogy $p$ osztható 1979-cel. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001595 ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! $ \log _2 \left( {\log _3 \dfrac{x-1}{x+1}} \right)<\log _{\dfrac{1}{2}} \left( {\log _{\dfrac{1}{3}} \dfrac{x+1}{x-1}} \right). $ Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000267 ) Egy konvex testnek két háromszöglapja és három négyszöglapja van. Kössük össze az egyik háromszöglap mindegyik csúcsát a vele szemközti négyszöglap átlóinak metszéspontjával. Bizonyítsuk be, hogy három egyenes egy ponton megy át. Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001513 ) Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, $P$ pedig a háromszög egy belső pontja! A PAB, PBC, PCA háromszögek magasságpontját jelölje rendre $R$, $S$, $T$! Bizonyítsuk be, hogy az ABC és RST háromszögek területe megegyezik!
|
|||||
|