Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög AC szárának egy pontja $P$! Mérjük fel $B$-ből a PA szakaszt a CD szár $B$-n túli meghosszabbítására, és jelöljük a kapott pontot $Q$-val! Mi a PQ szakaszok felezőpontjainak halmaza, ha $P$ befutja az AC szakaszt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a síkon nyolc pont úgy, hogy nincs közöttük négy egy egyenesen. Legfeljebb hány olyan egyenes van, amire az adott pontok közül három illeszkedik?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a síkban egy egyenes, égy $n$ cm sugarú kör ($n$ egész szám) és a körben 4$n$ darab 1 cm-es szakasz. Bizonyítsuk be, hogy húzható az adott egyenessel párhuzamosan vagy rá merőlegesen olyan húr, amelynek legalább két szakasszal van közös pontja.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Megegyezhet-e 1998 darab páratlan egész szám egyikének a négyzete a többi 1998 darab szám négyzetének az összegével?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adva van a térben négy pont: $A$, $B$, $C$, $D$. Meghatározandó az $S$ sík úgy, hogy $A$ és $C$ a sík egyik oldalán, $B$ és $D$ a sík másik oldalán legyen, és hogy a négy pont $S$-től egyenlő távolságra legyen.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy ha egy legalább kétjegyű négyzetszám utolsó előtti jegye páratlan, akkor az utolsó számjegy 6.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a természeres számok halmazán a következő egyenletet:

$ 5^x+2=7^y $ 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $AB$ körív $F$ felezőpontján átmenő egyenes a körívet másodszor az $F$ és $B$ közötti $M$ pontban metszi. Az $F$ pontból az $AM$ egyenesre állított merőleges talppontját jelölje $K$. Bizonyítsuk be, hogy $AK=\left( {AM+MB} \right)/2$.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy az $n!+1,\mbox{ ..., }n!+n$ számok mindegyikének van olyan prímosztója, amely a többi $n$-1 szám egyikének sem osztója.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyek azok a kétjegyű természetes számok (a tízes számrendszerben felírva), amelyekre maga a szám 17-tel nagyobb, mint a számjegyek szorzata?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD konvex négyszög AC és BD átlói 6 cm hosszúak és 45\r{ }-os szöget zárnak be az AB oldallal. Mekkora a négyszög területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy

osztható 91-gyel, ha $n$ tetszés szerinti nem negatív egész szám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n

mindig osztható 24-gyel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy üzletben szerdán $\dfrac 7 4$-szer annyi almát adtak el, mint kedden, A két nap alatt eladott alma mennyisége hány százaléka a kedden eladott almának?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszög AB oldalán $A$ és $B$ között választott $C$; pontot kössük össze $C$-vel. Az $A$ szögponton áthaladó és CC$_{1}$-gyel párhuzamos egyenes messe BC-t az $A_{1}$ pontban, a $B $szögponton áthaladó és CC$_{1}$-gyel párhuzamos egyenes messe AC-t a $B_{1}$ pontban.

Bizonyítsuk be, hogy

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy síkbeli terepen hat város között 6 út vezet. Az első $A_{1}$-ből $B_{1 }$--be, a második $A_{2}$-ből $B_{2 }$--be, a harmadik pedig $A_{3}$-ből $B_{3 }$--ba. $A_{i}$-ből ($ i$ = 1, 2, 3) egyszerre indul el $f_{i}$ futár ( $i$ = 1, 2, 3) a $B_{i}$ városba ( $i$ = 1, 2, 3), ahol mindegyik futár állandó sebességgel halad. A közös indulás után $a$ óra elteltével $f_{1}$ és $f_{2}$ találkozik, majd ezután $b$ óra elteltével $f_{1}$ és $f_{3}$ találkozik, majd ismét $a$ óra elteltével $f_{2}$ és $f_{3 }$mennek el egymás mellet, végül újabb $b$ óra múlva mindhárman egyszerre érnek célba. Milyen messze lehet $B_{1} \quad B_{3 }$--tól, ha $a \quad >$ 0, $b \quad >$ 0 és $A_{1}A_{2}$ = 1km?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

,,Kockás'' fehér papíron 40 kis négyzetet pirosra festettünk. Igaz-e, hogy mindig ki lehet jelölni a 40 közül 10 piros négyzetet úgy, hogy semelyik kettőnek sincs közös pontja (még közös csúcsa sem!)?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adva vannak valamely ABCD derékszögű négyszög AB és CD, valamint AD és BC oldalainak $M$ és $N$, illetőleg $P$ és $Q$ metszéspontjai egy $e$ egyenessel, továbbá AB oldalának $p$ hossza; szerkesszük meg a derékszögű négyszöget. Mikor oldható meg a feladat, és hány megoldása van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kocka lapjait zöldre festettük, majd a befestett kockát feldaraboltuk egybevágó kiskockákra. Ezek közül pontosan annyinak van két festett (zöld) lapja, mint amennyinek egy zöld lapja. Hány kiskockára daraboltuk fel az eredeti kockát?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy az

$k$-adfokú függvény pozitív értékű, ha

Itt $k$ az $n$-nél nem nagyobb pozitív egész számot jelent,

pedig a binomiális együtthatók$^{\ast }$"> Ezek a következőképpen vannak értelmezve:\par $\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ l \hfill \\ \end{array} }} \right)=\dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-l+1)}{1\ast 2\ast 3\ast ...\ast l}$ (l = 1,2,...,n)\par Célszerű továbbá bevezetni az $\left( {{\begin{array}{*{20}c} n \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{array} }} \right)=1$ jelölést} ismert jelölései.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC hegyesszögű háromszög oldalfelező pontjaiból merőlegeseket állítunk a szomszédos oldalakra. Ezeknek a merőlegeseknek a háromszögön belüli metszéspontjai és a háromszög oldalfelező pontjai egy hatszöget határoznak meg. Hányad része a hatszög területe a háromszög területének?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen tulajdonságú $k$, $m$, $n$, $t$ természetes szám esetén lesz az 1$^{k}$+9$^{m}$+9$^{n}$+7$^{t}$ összeg utolsó számjegye 4?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelentsen $n$ egész számot. Bizonyítsuk be, hogy ha $ 2+2\sqrt {28n^2+1} $ egész szám, akkor négyzetszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adva van a síkban három egy ponton átmenő és páronként $ 60^\circ $-os szöget bezáró egyenes: $p$, $q$ és $r$, továbbá három hosszúság: $a\le b\le c$. Bizonyítsuk be, hogy azok a pontok, amelyeknek az adott egyenesektől való távolsága rendre kisebb $a$, $b$, illetve $c$-nél, akkor és csak akkor alkotják egy hatszög belsejét, ha a+b $>$ c. Ha a feltétel ki van elégítve, mekkora a hatszög kerülete?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféleképpen lehet egy pengőt aprópénzre felváltani? (Aprópénz az 1 ,2 ,10 ,20 és 50 filléres)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $f(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sin \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<0} \\ {f(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 0} \\ \end{array} }} \right.$ és $g(x)=\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\cos \,\,\pi x,}{\mbox{ha }x<1/2} \\ {g(x-1)+1,}{\mbox{ha }x\ge 1/2} \\ \end{array} }} \right.$

Oldjuk meg az $f(x)=g(x)$ egyenletet!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $p$ és $q$ olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy

Bizonyítsuk be, hogy $p$ osztható 1979-cel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy konvex testnek két háromszöglapja és három négyszöglapja van. Kössük össze az egyik háromszöglap mindegyik csúcsát a vele szemközti négyszöglap átlóinak metszéspontjával. Bizonyítsuk be, hogy három egyenes egy ponton megy át.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, $P$ pedig a háromszög egy belső pontja! A PAB, PBC, PCA háromszögek magasságpontját jelölje rendre $R$, $S$, $T$! Bizonyítsuk be, hogy az ABC és RST háromszögek területe megegyezik!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba