Az $ ABCD $ konvex négyszögben $ ABC\sphericalangle = DAB\sphericalangle = 45^\circ $ , valamint $ AB = 7\sqrt{ 2 },\ BC = 4,\ DA = 3 $. Határozzuk meg a $ CD $ oldal hosszát.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ x $, $ y $, $ z $ pozitív valós számok úgy, hogy $ x + y + z = 2024 $. Bizonyítsuk be, hogy

$ \sqrt{ xy + xz } +\sqrt{ xy + yz } + \sqrt{ xz + yz } \le 3036 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kavicsot helyezünk el a derékszögű koordinátarendszer $ (m, n) $ koordinátájú rácspontjába, majd a következő játékot játsszuk. Ha a kavics az $ (x, y) $ pontban van, akkor áthelyezhetjük az $ (x - 1, y - 1) $, $ (x + 1, y + 1) $, $ (11x, y) $ és $ (x, 11y) $ pontok valamelyikébe. Határozzuk meg azokat az $ (m, n) $ kezdőpontokat, ahonnan a kavicsot néhány megengedett lépéssel az origóba juttathatjuk.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ a $, $ b $, $ c $ olyan pozitív egész számok, hogy egyik sem osztója a másiknak, továbbá $ ab - b + 1\ |\ abc + 1 $. Bizonyítsuk be, hogy $ c > b $.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hosszabbítsuk meg az $ ABC $ háromszög $ CA $ oldalát $ A $-n túl $ AB $-vel, a kapott pontot jelöljük $ D $-vel. Jelölje $ E $ a $ BAC\sphericalangle $ szögfelezőjének és a $ BC $ oldalnak a metszéspontját, és $ F $ az $ AE $ szakasz felezőpontját. $ CF $ és $ AB $ metszéspontját jelöljük $ G $-vel. Igazoljuk, hogy a $ D $, $ E $, $ G $ pontok egy egyenesre esnek!
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba