Két egymást követő naptári év során legfeljebb hányszor eshet egy hónap tizenharmadik napja péntekre?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $ABCD$  tetraéder éleinek hossza növekvő sorrendben: 7, 13, 18, 27, 36 és 41. Az  $AB$  él hosszúsága 41. Mekkora a  $CD$  él hossza?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számold ki:

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a térben négy nem egy síkban fekvő pont. Hány olyan sík van, amelytől mind a négy pont egyenlő távol van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az 1001-nél kisebb nevezőjü törtek közül azt, amely a lehető legkevésébé tér el a  $\dfrac{123}{1001}$  -től. Mennyi ennek a törtnek a nevezője? (A törtek nevezője pozitív egész.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy sakktábla egyik főátlójától jobbra eső mezőket levágtuk, így maradt egy 36 mezőből álló ,,lépcső''. A lépcső mezőit szeretnénk csoportokba osztani úgy, hogy egy bármely két csoport különböző számú mezőből álljon, és az egy csoportba tartozó mezők egy-egy téglalapot alkossanak. (Minden mezőnek pontosan egy csoportban kell szerepelnie.) Hányféleképpen tehetjük ezt meg?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $ABCD$  téglalap  $AB$  oldalának Thálesz-köre érinti a  $CD$  oldalát. Előbbi kör és a  $DA$  oldal Thalesz-köre az  $A$  -tól különböző  $E$  pontban metszi egymást. Határozzuk meg az  $ACE$  szög tangensének értékét! A válasz a kapott tört egyszerűsített alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféle módon lehet az  $ABCDEFGHIJKL$  szabályos 12-szög csúcsait kiszínezni két színnel úgy, hogy ne jöjjön létre egyszínű szabályos sokszög a színezés során? Két színezést különbözőnek tekintünk, ha a megbetűzött csúcsok legalább egyikének különböző a színe.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik az a legnagyobb  $x$  egész szám, melyhez létezik olyan  $n$  pozitív egész szám, hogy  $x^n+2^n+1$  osztja  $x^{n+1}+2^{n+1}+1$  -et?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Bergengóc parlament alsóháza 135, felsőháza 120 képviselőt számlál. Néhány képviselő ellensége egymásnak (az ellenségesség kölcsönös). Ha az alsóház képviselőit 15 egyforma létszámú csoportra osztjuk, mindenképp lesz az egyik csoportban két képviselő, akik ellenségei egymásnak. Ha felső ház képviselőit osztjuk 15 egyforma létszámú csoportra, ott is mindenképp lesz az egyik csoportban két képviselő, akik az ellenségei egymásnak. Mennyi a 255 képviselő közötti ellenséges párok legkisebb lehetséges száma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen  $P$  azon legfeljebb negyedfokú egész együtthatós polinomok halmaza, melyekben minden együttható a  $-2,-1,0,1,2$  számok valamelyike. Határozzuk meg a  $\{p(4) : p\in P\}$  halmaz elemszámát.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A  $P$  pontból egyszerre indul el két autó keleti irányba; 60 km/h illetve 135 km/h állandó sebességgel haladnak. Egy megfigyelő a  $P$  ponttól észak-keleti irányban 600 m távolságra helyezkedik el. Hány másodperccel a start után látja legnagyobb szögben egymáshoz képest a két autót?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy  $ 8\times 8$  -as táblázat 64 mezőjéből néhányat megjelöltünk előre. Egy lépésben megjelölhetünk egy eddig jelöletlen mezőt, ha az oldalszomszédos legalább 3 jelölt mezővel. Mi az a legkisebb  $k$  , amire kiválasztható úgy  $k$  mező, hogy azokat előre megjelölve, majd a fenti lépést ismételgetve megjelölhetjük az összes többi mezőt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy véges egyszerű gráfban minden csúcs foka 16. Tudjuk, hogy bármely két szomszédos csúcsnak pontosan 8, míg bármely két nem szomszédos csúcsnak pontosan 4 közös szomszédja van. Hány csúcsa van a gráfnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan pozitív egészekből álló kilenc elemű  $A$  halmaz van, melyre minden 500-nál nem nagyobb pozitív egész szám előáll  $A$  egy részhalmaza elemeinek összegeként? (Az egy elemből álló részhalmazok elemei összegének magát az elemet tekintjük.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen  $p$  ,  $q$  és  $r$  három különböző prímszám, és legyen

Melyik az a legkisebb  $ 2\le n\le 6^3$  egész szám, melyre az  $A$  halmaz tetszőleges  $n$  elemű részhalmazában található két különböző elem, melyek közül az egyik osztja a másikat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$  függvény teljesíti az

egyenletet tetszőleges  $x$  és  $y$  pozitív valós számok esetén. Mennyi  $f(2015)$  , ha tudjuk, hogy  $f(2) = 2015$  ?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azt a legnagyobb  $r$  egész számot, melyre az  $\{1,2,\ldots,1000\}$  halmaz bármely öt darab 500 elemű részhalmaza között található két olyan, melyek metszete legalább  $r$  elemű.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mennyi  $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{97}^2$  legnagyobb lehetsége értéke, ha  $ 0\le x_1\le x_2\le\ldots\le x_{100}$  és  $x_1+x_2+\ldots+x_{100}=1$  ? A válasz a kapott tört egyszerűsített alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy vékony pálcán véletlenszerűen (egyenletes valószínűségi eloszlás szerint) kiválasztunk 5 pontot. Ezután eltörjük a pálcát ezeken a pontokon. Mennyi a valószínűsége, hogy a kapott darabokból össze lehet állítani egy hatszöget? A válasz a kapott tört egyszerűsített alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba