Oldja meg a valós számok halmazás a

$\log_{2x}x+\log_{8x^2}x=0 $

egyenletet!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ x $ és $ y $ olyan pozitív egészek, melyek eleget tesznek a $ 4 y^2 - 9 x^2 = 2007 $ egyenletnek. Mennyi az összes összetartozó $ x $ és $ y $ érték szorzatának legnagyobb prímosztója?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapjának hossza háromszorosa a $ CD $ alapnak és az $ AD $ szárnak. Az $ AC $ átló hossza $ 5 $ egység, a $ BC $ szár hossza $ 10 $ egység. Mekkorák az $ ABCD $ trapéz oldalai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy $ 2006^{2007} + 2008^{2006} + 2007 $ osztható $ 7 $ -tel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy egy tetszőleges háromszög $ a , b, c $ -vel jelölt oldalai között akkor és csak akkor áll fenn az $ a \le b \le c $ egyenlőtlenség, ha az $ s_a $ , $ s_b $ , $ s_c $ -vel jelölt súlyvonalakra fennáll az $ s_a \ge s_b \ge s_c $ egyenlőtlenség!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

András és Balázs kosárra dobásban méri össze tudását. Annak valószínűsége, hogy András a kosárba talál 0,7; míg Balázs 0,4 valószínűséggel dob kosarat. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob.

- Ha András talál, és Balázs nem, akkor András nyer.

- Ha Balázs talál, és András nem, akkor Balázs nyer.

- Minden más esetben a játszma eredménye döntetlen.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymás utáni játszma mindegyike döntetlen lesz?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen 

$ f(x)=\log_2\left(tg\ x+\dfrac{1}{\cos x} \right)$

és

$g(x)=\dfrac{2^{f(x)}-2^{-f(x)}}{2} $

minden olyan valós $ x $ -re, amelyre a szereplő függvények értelmezhetők. Mennyi $ g\left( \dfrac{\pi}{4 }\right) $ pontos értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintse

$p(x ) = ( 5 x − 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x − 251 )$

és

$q ( x ) = (a − b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b − c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $

a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy

$ p(x ) = q(x ) $

minden valós x -re teljesüljön!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a_n $ és $ b_n $ számsorozatokat az alábbi módon definiáljuk:

$ a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$

és

$b_n=n\cdot a_n-a_1-a_2-\ldots-a_n$

Határozza meg $ b_{2008} $ értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ AB $ oldala, mint átmérő fölé rajzolt kör a $ BC $ szakaszt a $ P $ , az $ AC $ szakaszt a $ Q $ pontban metszi. Legyenek a $ P $ és a $ Q $ pontokból az $ AB $ -re bocsátott merőlegesek talppontjai $ X $ és $ Y $

$\dfrac{PX}{QY }=\dfrac{b^2\cdot (a^2+c^2-b^2)}{a^2\cdot (b^2+c^2-a^2) } $

Bizonyítsa be, hogy ahol $ a, b, c $ az $ ABC $ háromszög oldalhosszait jelentik!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletet, ha $ p $ pozitív prímszám:

$ \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 - p^2 } + \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 + p^2 } = p^2 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk:

$K=\dfrac{x^3 - x^2 - 9 x + 2017}{x^2-9 } $

ahol $ x \in [ - 2008 ;2008] $ és $ x \in \mathbb{Z} $ . Mennyi a valószínűsége annak, hogy $ K $ egész szám, ha $ x $ eleget tesz a fenti feltételeknek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójára és az $ AC $ befogójára kifelé megrajzoltuk az $ ABDE $ és $ ACFG $ négyzeteket. Jelölje $ M $ az $ EC $ és $ BG $ szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az $ M $ pontból az $ ABC $ háromszög oldalai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ m $ sorból és $ n $ oszlopból álló, téglalap alakú táblázat minden mezőjébe egy-egy számot írunk oly módon, hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik, hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege, ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege $ 2008 $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

$  \log_2(1+\cos (2x)) = 2 ^{1+\cos(3x)} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felezőpontja $ F $ , az $ AB $ oldal egy belső pontja $ T $ , az $ AF $ és $ CT $ szakaszok metszéspontja $ M $. Az $ ATM $ háromszög területe 8, a $ CFM $ háromszög területe 15 egység. Mekkora lehet az $ ABC $ háromszög területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg, mely $ a $ és $ b $ egész számokra igaz:

$  \dfrac{b}{a-1}+\dfrac{a-4}{b+1}=1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy egy olyan téglalap alapú gúlában, amelyben a gúla magasságának a talppontja az alap valamely csúcsába esik, a leghosszabb oldalél hosszának negyedik hatványa legalább hatszorosa az oldallapok területei négyzetösszegének.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $ x \mapsto \dfrac{2x+1}{2}-\sqrt{x^2+1} $ függvény, ahol $ x\ge 0 $.

a) Monoton nő, vagy csökken a függvény?

b) Melyik az a legkisebb pozitív egész $ n $, amelyre $ f(n)<\dfrac{1}{2008} $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! goldás:

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek aza, b, c, dszámok pozitív valós számok. Igazolja, hogy

$ \sqrt{ a \cdot b } + \sqrt{ c \cdot d }\le (\sqrt{ a + d ) \cdot ( b + c ) }! $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ha az $ x $, $ y $ , $ z $ valós számok eleget tesznek az $ x + 3 y + 5 z = 200 $ és az $ x + 4 y + 7 z = 225 $ egyenleteknek, akkor mennyi a $ K = x + y + z $ kifejezés értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán az $ [x ]= 2008 \left\{ x \right\} $ egyenletet! ( [x ] az x valós szám egészrésze, azaz az x -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb, { x} pedig az x valós szám törtrésze, azaz { x} = x − [x ] )

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ AC $ oldalán az $ E $ belső pont úgy helyezkedik el, hogy $ EC = AB $ . Legyen $ F $ a $ BC $, $ M $ pedig az $ AE $ szakasz felezőpontja. Határozzuk meg az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsánál levő belső szögét, ha $ FME\sphericalangle = 18^\circ $ !

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán a

$ \log_4 (\log_8 x ) = \log_8 (\log_4 x) $

egyenletet!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ derékszögű háromszögben az $ A $ csúcsnál levő belső szög $ 30^\circ $ . A $ BC $ befogóra illeszkedő $ P $ pontból az $ AB $ átfogóra rajzolt merőleges talppontja legyen $ Q $. Határozza meg a $ \dfrac{BP}{ PC} $ arány értékét, ha a $ BPQ $ és a $ CPA $ háromszögek  területei egyenlők!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy fiókban n darab füzet van, közülük néhány négyzetrácsos, a többi vonalas. Egymás után véletlenszerűen kiveszünk kettőt. Egy másik fiókban ugyancsak n darab füzet van, de kétszer annyi közöttük a négyzetrácsos, mint az előzőben. Ebből a fiókból is kiveszünk véletlenszerűen kettőt. Annak a valószínűsége, hogy a másodikból két négyzetrácsosat veszünk ki, ötször annyi, mint, annak, hogy az első fiókból veszünk ki két négyzetrácsosat. Hány négyzetrácsos füzet van az egyes fiókokban?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós $ (x, y ) $ számpárok halmazán az

$ ( x + y + 2009)^2 = 2 ( xy + 2 x + 2008) (− x + y − xy + 1) $

egyenletet!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög oldalai a következők:  $ AB = \sqrt{ x^2 − 1 }\left( x^n + x^{n −1} + x^{n − 2} \right) $ , $ BC = x^{n +1} + x^n + x^{n −1} $ és $ CA = x^n + x^{n −1} + x^{n −2} $ , ahol $ x > 1 $ valós szám és $ n \in \mathbb{N}^+ , n\ge 2 $ .

a) Bizonyítsa be, hogy a háromszög derékszögű!

b) Határozza meg az x valós szám értékét úgy, hogy a háromszög legkisebb szögének nagysága $ 30^\circ $ legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba