Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

Látogatók

Mai866
Heti13123
Havi28241
Összes1548913

IP: 3.233.239.20 Unknown - Unknown 2019. december 14. szombat, 10:53

Ki van itt?

Guests : 96 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Keresés az Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV) feladatbankjában

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 388 ( listázott találatok: 1 ... 30 )

1. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20072008_1k1f1f )
Témakör: *Számelmélet

Oldja meg a valós számok halmazás a

$\log_{2x}x+\log_{8x^2}x=0 $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20072008_1k1f2f )
Témakör: *Számelmélet

Legyenek $ x $ és $ y $ olyan pozitív egészek, melyek eleget tesznek a $ 4 y^2 - 9 x^2 = 2007 $ egyenletnek. Mennyi az összes összetartozó $ x $ és $ y $ érték szorzatának legnagyobb prímosztója?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20072008_1k1f3f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapjának hossza háromszorosa a $ CD $ alapnak és az $ AD $ szárnak. Az $ AC $ átló hossza $ 5 $ egység, a $ BC $ szár hossza $ 10 $ egység. Mekkorák az $ ABCD $ trapéz oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20072008_1k1f4f )
Témakör: *Számelmélet

Bizonyítsa be, hogy $ 2006^{2007} + 2008^{2006} + 2007 $ osztható $ 7 $ -tel!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20072008_1k1f5f )
Témakör: *Geometria

Bizonyítsa be, hogy egy tetszőleges háromszög $ a , b, c $ -vel jelölt oldalai között akkor és csak akkor áll fenn az $ a \le b \le c $ egyenlőtlenség, ha az $ s_a $ , $ s_b $ , $ s_c $ -vel jelölt súlyvonalakra fennáll az $ s_a \ge s_b \ge s_c $ egyenlőtlenség!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 6. feladat ( OKTV_20072008_1k1f6f )
Témakör: *Kombinatorika

András és Balázs kosárra dobásban méri össze tudását. Annak valószínűsége, hogy András a kosárba talál 0,7; míg Balázs 0,4 valószínűséggel dob kosarat. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob.

- Ha András talál, és Balázs nem, akkor András nyer.

- Ha Balázs talál, és András nem, akkor Balázs nyer.

- Minden más esetben a játszma eredménye döntetlen.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymás utáni játszma mindegyike döntetlen lesz?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20072008_1k2f1f )
Témakör: *Algebra

Legyen 

$ f(x)=\log_2\left(tg\ x+\dfrac{1}{\cos x} \right)$

és

$g(x)=\dfrac{2^{f(x)}-2^{-f(x)}}{2} $

minden olyan valós $ x $ -re, amelyre a szereplő függvények értelmezhetők. Mennyi $ g\left( \dfrac{\pi}{4 }\right) $ pontos értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20072008_1k2f2f )
Témakör: *Algebra

Tekintse

$p(x ) = ( 5 x − 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x − 251 )$

és

$q ( x ) = (a − b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b − c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $

a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy

$ p(x ) = q(x ) $

minden valós x -re teljesüljön!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20072008_1k2f3f )
Témakör: *Algebra

Az $ a_n $ és $ b_n $ számsorozatokat az alábbi módon definiáljuk:

$ a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$

és

$b_n=n\cdot a_n-a_1-a_2-\ldots-a_n$

Határozza meg $ b_{2008} $ értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20072008_1k2f4f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ AB $ oldala, mint átmérő fölé rajzolt kör a $ BC $ szakaszt a $ P $ , az $ AC $ szakaszt a $ Q $ pontban metszi. Legyenek a $ P $ és a $ Q $ pontokból az $ AB $ -re bocsátott merőlegesek talppontjai $ X $ és $ Y $

$\dfrac{PX}{QY }=\dfrac{b^2\cdot (a^2+c^2-b^2)}{a^2\cdot (b^2+c^2-a^2) } $

Bizonyítsa be, hogy ahol $ a, b, c $ az $ ABC $ háromszög oldalhosszait jelentik!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20072008_1k2f5f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletet, ha $ p $ pozitív prímszám:

$ \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 - p^2 } + \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 + p^2 } = p^2 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20072008_1kdf1f )
Témakör: *Algebra

Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk:

$K=\dfrac{x^3 - x^2 - 9 x + 2017}{x^2-9 } $

ahol $ x \in [ - 2008 ;2008] $ és $ x \in \mathbb{Z} $ . Mennyi a valószínűsége annak, hogy $ K $ egész szám, ha $ x $ eleget tesz a fenti feltételeknek?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20072008_1kdf2f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójára és az $ AC $ befogójára kifelé megrajzoltuk az $ ABDE $ és $ ACFG $ négyzeteket. Jelölje $ M $ az $ EC $ és $ BG $ szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az $ M $ pontból az $ ABC $ háromszög oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20072008_1kdf2f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy $ m $ sorból és $ n $ oszlopból álló, téglalap alakú táblázat minden mezőjébe egy-egy számot írunk oly módon, hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik, hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege, ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege $ 2008 $?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_1k1f1f )
Témakör: *Geometria

Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! goldás:



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_1k1f2f )
Témakör: *Algebra

Legyenek aza, b, c, dszámok pozitív valós számok. Igazolja, hogy

$ \sqrt{ a \cdot b } + \sqrt{ c \cdot d }\le (\sqrt{ a + d ) \cdot ( b + c ) }! $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_1k1f3f )
Témakör: *Algebra

Ha az $ x $, $ y $ , $ z $ valós számok eleget tesznek az $ x + 3 y + 5 z = 200 $ és az $ x + 4 y + 7 z = 225 $ egyenleteknek, akkor mennyi a $ K = x + y + z $ kifejezés értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k1f4f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán az $ [x ]= 2008 \left\{ x \right\} $ egyenletet! ( [x ] az x valós szám egészrésze, azaz az x -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb, { x} pedig az x valós szám törtrésze, azaz { x} = x − [x ] )



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k1f5f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ háromszög $ AC $ oldalán az $ E $ belső pont úgy helyezkedik el, hogy $ EC = AB $ . Legyen $ F $ a $ BC $, $ M $ pedig az $ AE $ szakasz felezőpontja. Határozzuk meg az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsánál levő belső szögét, ha $ FME\sphericalangle = 18^\circ $ !



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_1k2f1f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán a

$ \log_4 (\log_8 x ) = \log_8 (\log_4 x) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_1k2f2f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ derékszögű háromszögben az $ A $ csúcsnál levő belső szög $ 30^\circ $ . A $ BC $ befogóra illeszkedő $ P $ pontból az $ AB $ átfogóra rajzolt merőleges talppontja legyen $ Q $. Határozza meg a $ \dfrac{BP}{ PC} $ arány értékét, ha a $ BPQ $ és a $ CPA $ háromszögek  területei egyenlők!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_1k2f3f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy fiókban n darab füzet van, közülük néhány négyzetrácsos, a többi vonalas. Egymás után véletlenszerűen kiveszünk kettőt. Egy másik fiókban ugyancsak n darab füzet van, de kétszer annyi közöttük a négyzetrácsos, mint az előzőben. Ebből a fiókból is kiveszünk véletlenszerűen kettőt. Annak a valószínűsége, hogy a másodikból két négyzetrácsosat veszünk ki, ötször annyi, mint, annak, hogy az első fiókból veszünk ki két négyzetrácsosat. Hány négyzetrácsos füzet van az egyes fiókokban?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k2f4f )
Témakör: *Kombinatorika

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 5. feladat ( OKTV_20082009_1k2f5f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós $ (x, y ) $ számpárok halmazán az

$ ( x + y + 2009)^2 = 2 ( xy + 2 x + 2008) (− x + y − xy + 1) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20082009_1kdf1f )
Témakör: *Geometria

Egy háromszög oldalai a következők:  $ AB = \sqrt{ x^2 − 1 }\left( x^n + x^{n −1} + x^{n − 2} \right) $ , $ BC = x^{n +1} + x^n + x^{n −1} $ és $ CA = x^n + x^{n −1} + x^{n −2} $ , ahol $ x > 1 $ valós szám és $ n \in \mathbb{N}^+ , n\ge 2 $ .

a) Bizonyítsa be, hogy a háromszög derékszögű!

b) Határozza meg az x valós szám értékét úgy, hogy a háromszög legkisebb szögének nagysága $ 30^\circ $ legyen!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20082009_1kdf2f )
Témakör: *Algebra

Legyen tetszőleges $ x $ valós szám esetén $ f ( x) = \dfrac{4^x}{ 4^x+2} $

a) Határozza meg az $ f (x ) + f ( y ) $ összeget, ha $ x $ és $ y $ olyan valós számok, amelyek összege 1!

b) Határozza meg az

$ f\left(\dfrac{1}{2010}\right)+f\left(\dfrac{2}{2010}\right)+\ldots+f\left(\dfrac{2009}{2010}\right)$

összeg pontos értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 3. feladat ( OKTV_20082009_1kdf3f )
Témakör: *Geometria

Adja meg az összes olyan háromszöget, amelynek oldalai közvetlen egymás után következő páros egész számok, valamint az egyik belső szöge kétszer akkora, mint ennek a háromszögnek egy másik belső szöge!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_2k1f1f )
Témakör: *Algebra

Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait.

$x^3 + y^3 = x, \ 3x^2y + 3xy^2 = y. $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_2k1f2f )
Témakör: *Algebra

Tekintsük azokat a négyjegyű pozitı́v egész számokat, amelyeknek minden jegye különböző.

a) Hány ilyen szám van?

b) Mennyi ezeknek a számoknak az összege?

c) Növekvő sorrendbe állı́tva őket melyik lesz a 2008-ik? (Az 1023 az első.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_2k1f3f )
Témakör: *Geometria

Az egyenlőszárú $ ABC $ háromszögben $ AB = AC $. $ BC $ egy tetszőleges belső $ P $ pontjából a szárakkal párhuzamosokat húzunk. Az $ AC $-vel párhuzamos az $ AB $-t $ Q $-ban, az $ AB $-vel párhuzamos az $ AC $-t $ R $-ben metszi. Határozzuk meg a $ PQR $ háromszögek súlypontjának halmazát, mértani helyét.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak