Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

Látogatók

Mai1409
Heti15473
Havi51451
Összes3690931

IP: 3.238.72.122 Unknown - Unknown 2022. május 21. szombat, 13:44

Ki van itt?

Guests : 54 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

fb keresés

Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV)

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 453 (listázott találatok: 1 ... 30)

1. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f1f )

Oldja meg a valós számok halmazás a

$\log_{2x}x+\log_{8x^2}x=0 $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f2f )

Legyenek $ x $ és $ y $ olyan pozitív egészek, melyek eleget tesznek a $ 4 y^2 - 9 x^2 = 2007 $ egyenletnek. Mennyi az összes összetartozó $ x $ és $ y $ érték szorzatának legnagyobb prímosztója?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f3f )

Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapjának hossza háromszorosa a $ CD $ alapnak és az $ AD $ szárnak. Az $ AC $ átló hossza $ 5 $ egység, a $ BC $ szár hossza $ 10 $ egység. Mekkorák az $ ABCD $ trapéz oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f4f )

Bizonyítsa be, hogy $ 2006^{2007} + 2008^{2006} + 2007 $ osztható $ 7 $ -tel!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f5f )

Bizonyítsa be, hogy egy tetszőleges háromszög $ a , b, c $ -vel jelölt oldalai között akkor és csak akkor áll fenn az $ a \le b \le c $ egyenlőtlenség, ha az $ s_a $ , $ s_b $ , $ s_c $ -vel jelölt súlyvonalakra fennáll az $ s_a \ge s_b \ge s_c $ egyenlőtlenség!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 6. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f6f )

András és Balázs kosárra dobásban méri össze tudását. Annak valószínűsége, hogy András a kosárba talál 0,7; míg Balázs 0,4 valószínűséggel dob kosarat. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob.

- Ha András talál, és Balázs nem, akkor András nyer.

- Ha Balázs talál, és András nem, akkor Balázs nyer.

- Minden más esetben a játszma eredménye döntetlen.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymás utáni játszma mindegyike döntetlen lesz?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f1f )

Legyen 

$ f(x)=\log_2\left(tg\ x+\dfrac{1}{\cos x} \right)$

és

$g(x)=\dfrac{2^{f(x)}-2^{-f(x)}}{2} $

minden olyan valós $ x $ -re, amelyre a szereplő függvények értelmezhetők. Mennyi $ g\left( \dfrac{\pi}{4 }\right) $ pontos értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f2f )

Tekintse

$p(x ) = ( 5 x − 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x − 251 )$

és

$q ( x ) = (a − b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b − c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $

a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy

$ p(x ) = q(x ) $

minden valós x -re teljesüljön!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f3f )

Az $ a_n $ és $ b_n $ számsorozatokat az alábbi módon definiáljuk:

$ a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$

és

$b_n=n\cdot a_n-a_1-a_2-\ldots-a_n$

Határozza meg $ b_{2008} $ értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f4f )

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ AB $ oldala, mint átmérő fölé rajzolt kör a $ BC $ szakaszt a $ P $ , az $ AC $ szakaszt a $ Q $ pontban metszi. Legyenek a $ P $ és a $ Q $ pontokból az $ AB $ -re bocsátott merőlegesek talppontjai $ X $ és $ Y $

$\dfrac{PX}{QY }=\dfrac{b^2\cdot (a^2+c^2-b^2)}{a^2\cdot (b^2+c^2-a^2) } $

Bizonyítsa be, hogy ahol $ a, b, c $ az $ ABC $ háromszög oldalhosszait jelentik!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f5f )

Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletet, ha $ p $ pozitív prímszám:

$ \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 - p^2 } + \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 + p^2 } = p^2 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf1f )

Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk:

$K=\dfrac{x^3 - x^2 - 9 x + 2017}{x^2-9 } $

ahol $ x \in [ - 2008 ;2008] $ és $ x \in \mathbb{Z} $ . Mennyi a valószínűsége annak, hogy $ K $ egész szám, ha $ x $ eleget tesz a fenti feltételeknek?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf2f )

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójára és az $ AC $ befogójára kifelé megrajzoltuk az $ ABDE $ és $ ACFG $ négyzeteket. Jelölje $ M $ az $ EC $ és $ BG $ szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az $ M $ pontból az $ ABC $ háromszög oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf2f )

Egy $ m $ sorból és $ n $ oszlopból álló, téglalap alakú táblázat minden mezőjébe egy-egy számot írunk oly módon, hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik, hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege, ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege $ 2008 $?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f1f )

Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! goldás:



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f2f )

Legyenek aza, b, c, dszámok pozitív valós számok. Igazolja, hogy

$ \sqrt{ a \cdot b } + \sqrt{ c \cdot d }\le (\sqrt{ a + d ) \cdot ( b + c ) }! $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f3f )

Ha az $ x $, $ y $ , $ z $ valós számok eleget tesznek az $ x + 3 y + 5 z = 200 $ és az $ x + 4 y + 7 z = 225 $ egyenleteknek, akkor mennyi a $ K = x + y + z $ kifejezés értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f4f )

Oldja meg a valós számok halmazán az $ [x ]= 2008 \left\{ x \right\} $ egyenletet! ( [x ] az x valós szám egészrésze, azaz az x -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb, { x} pedig az x valós szám törtrésze, azaz { x} = x − [x ] )



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_1k1f5f )

Az $ ABC $ háromszög $ AC $ oldalán az $ E $ belső pont úgy helyezkedik el, hogy $ EC = AB $ . Legyen $ F $ a $ BC $, $ M $ pedig az $ AE $ szakasz felezőpontja. Határozzuk meg az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsánál levő belső szögét, ha $ FME\sphericalangle = 18^\circ $ !



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f1f )

Oldja meg a valós számok halmazán a

$ \log_4 (\log_8 x ) = \log_8 (\log_4 x) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f2f )

Az $ ABC $ derékszögű háromszögben az $ A $ csúcsnál levő belső szög $ 30^\circ $ . A $ BC $ befogóra illeszkedő $ P $ pontból az $ AB $ átfogóra rajzolt merőleges talppontja legyen $ Q $. Határozza meg a $ \dfrac{BP}{ PC} $ arány értékét, ha a $ BPQ $ és a $ CPA $ háromszögek  területei egyenlők!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f3f )

Egy fiókban n darab füzet van, közülük néhány négyzetrácsos, a többi vonalas. Egymás után véletlenszerűen kiveszünk kettőt. Egy másik fiókban ugyancsak n darab füzet van, de kétszer annyi közöttük a négyzetrácsos, mint az előzőben. Ebből a fiókból is kiveszünk véletlenszerűen kettőt. Annak a valószínűsége, hogy a másodikból két négyzetrácsosat veszünk ki, ötször annyi, mint, annak, hogy az első fiókból veszünk ki két négyzetrácsosat. Hány négyzetrácsos füzet van az egyes fiókokban?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f4f )

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f5f )

Oldja meg a valós $ (x, y ) $ számpárok halmazán az

$ ( x + y + 2009)^2 = 2 ( xy + 2 x + 2008) (− x + y − xy + 1) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_1kdf1f )

Egy háromszög oldalai a következők:  $ AB = \sqrt{ x^2 − 1 }\left( x^n + x^{n −1} + x^{n − 2} \right) $ , $ BC = x^{n +1} + x^n + x^{n −1} $ és $ CA = x^n + x^{n −1} + x^{n −2} $ , ahol $ x > 1 $ valós szám és $ n \in \mathbb{N}^+ , n\ge 2 $ .

a) Bizonyítsa be, hogy a háromszög derékszögű!

b) Határozza meg az x valós szám értékét úgy, hogy a háromszög legkisebb szögének nagysága $ 30^\circ $ legyen!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_1kdf2f )

Legyen tetszőleges $ x $ valós szám esetén $ f ( x) = \dfrac{4^x}{ 4^x+2} $

a) Határozza meg az $ f (x ) + f ( y ) $ összeget, ha $ x $ és $ y $ olyan valós számok, amelyek összege 1!

b) Határozza meg az

$ f\left(\dfrac{1}{2010}\right)+f\left(\dfrac{2}{2010}\right)+\ldots+f\left(\dfrac{2009}{2010}\right)$

összeg pontos értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_1kdf3f )

Adja meg az összes olyan háromszöget, amelynek oldalai közvetlen egymás után következő páros egész számok, valamint az egyik belső szöge kétszer akkora, mint ennek a háromszögnek egy másik belső szöge!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_2k1f1f )

Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait.

$x^3 + y^3 = x, \ 3x^2y + 3xy^2 = y. $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_2k1f2f )

Tekintsük azokat a négyjegyű pozitı́v egész számokat, amelyeknek minden jegye különböző.

a) Hány ilyen szám van?

b) Mennyi ezeknek a számoknak az összege?

c) Növekvő sorrendbe állı́tva őket melyik lesz a 2008-ik? (Az 1023 az első.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20082009_2k1f3f )

Az egyenlőszárú $ ABC $ háromszögben $ AB = AC $. $ BC $ egy tetszőleges belső $ P $ pontjából a szárakkal párhuzamosokat húzunk. Az $ AC $-vel párhuzamos az $ AB $-t $ Q $-ban, az $ AB $-vel párhuzamos az $ AC $-t $ R $-ben metszi. Határozzuk meg a $ PQR $ háromszögek súlypontjának halmazát, mértani helyét.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

HivatalosHonlap Matkonyv InformatikaPortal KemiaPortal  
FizikaPortal KulturtortenetiEnciklopedia AlsosPortal TortenelemFilozofia
BiologiaPortal BiologiaPortal MagyarPortal MagyarPortal
  BiologiaPortal MagyarPortal  

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak