Gepetto itt is a számolást gyakorolja Pinokkióval. Egy 2-est és egy 3-ast ír egymás mellé az első sorban. Alá újabb sorokat ír, mindegyik 2-sel kezdődik és 3-sal végződik, belül pedig Pinokkió mindenhová a fölötte lévő két szám összegét írja. Milyen szám kerül a 15. sor 11. helyére?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Így füstölgött Matyi sajgó felét tapogatva. Elsőre éppen csak odasózni egynéhányszor, másodjára jól megpüfölni, attól fogva aztán adj neki! Hogy megtanulja egy életre a leckét, a harmadik veréstől kezdve minden egyes alkalommal annyi botütést mért volna ki Döbrögire, mint az előző két ülésben összesen. Addig osztott-szorzott, hogy a legutolsó, tizenegyedik találkozóra éppen 2006 botütés kerekedett ki. Azután észbe kapott: mennyit kéne így a szegény Fazekas Mihálynak körmölnie, meg a lúdavató bulik is eltartanának reggelig… lehiggadva végül megelégedett a tervezett bosszú első három porciójával. Hány botütés várt eszerint összesen Döbrögire?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszög oldalainak hossza BC = 2, AC = 5, AB = $\sqrt{39}$. Megrazoljuk az A középpontú, AC sugarú kört és a B középpontú, BC sugarú kört, melyek C -től különböző metszéspontja legyen D . Egy D-n keresztül húzott egyenes az előbb tekintett két kört D -n kívül E-ben és F-ben metszi. Húzunk E-ben és F-ben érintőket a megfelelő körhöz: ezek az érintők G-ben metszik egymást. A CG egyenes második metszéspontja az ABC háromszög körülírt körével legyen H. Határozd meg GH² értékét

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Matekland sütődéjében messze földön híres mandulás sütemények készülnek. Egy kerekes puszedli elkészítése három fázisban történik: az első kemencében 6 percig sül, a másodikban 12 percig, végül a harmadikban18 percig. A puszedlis kerék először az első kemencében sül 18 percig, azután a másodikban 12 percig, végül a harmadikban 6 percig. A kemencék minden nap leállnak valamennyi idôre: az első legalább 2 órára, a második legalább 5 órára, a harmadik pedig legalább 1 órára. Hányféleképpen lehet megadni a nemnegatív egészekből álló ( kp , pk ) számpárt úgy, hogy egyetlen nap alatt meg lehessen sütni kp darab kerekes puszedit és pk darab puszedlis kereket?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféleképpen lehet  $ 2$  fekete,  $ 3$  fehér és  $ 4$  piros, a színtől eltekintve egyforma golyót egy sorban úgy elhelyezni, hogy fekete golyó ne kerüljön fehér mellé?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $ABCD$  téglalap  $AB$  oldalának Thálesz-köre érinti a  $CD$  oldalát. Előbbi kör és a  $DA$  oldal Thalesz-köre az  $A$  -tól különböző  $E$  pontban metszi egymást. Határozzuk meg az  $ACE$  szög tangensének értékét! A válasz a kapott tört egyszerűsített alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféle módon lehet az  $ABCDEFGHIJKL$  szabályos 12-szög csúcsait kiszínezni két színnel úgy, hogy ne jöjjön létre egyszínű szabályos sokszög a színezés során? Két színezést különbözőnek tekintünk, ha a megbetűzött csúcsok legalább egyikének különböző a színe.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Meghatározandó a

$\sqrt{9+x\sqrt{x^2-108}}=x-3$

egyenlet legkisebb nemnegatív egész megoldása.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

BGLY MTMTK KNYVBN TLLTK:
JLLJ (n)_k   k SZM N-HZ LGKZLBB TBBSZRST. LDJK MG Z GYNLTRNDSZRT Z GSZ SZMK HLMZN, S HTRZZK MG x–y RTKT:

$(4x)_5+7y=15;\quad (2y)_5-(3y)_7=74$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Ratracer 2000 információs szolgálata nem bírta a gyűrődést: a legválságosabb pillanatban elkezdte egyesével kiírni a pozitív egészeket: 1,2,3,.... Melyik szám kiírása közben jelent meg a kijelzőn a 2010-edik 9-es számjegy?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Háry igazi gavallér, úgyhogy Mária Lujza születésnapjára annyi virágot vitt neki, ahány jegyű a 22008. Azonban Örzséjét jobban szerette, ő annyit kapott, ahány jegyű az $ 5^{2008}$. Hány szál virágot szedett összesen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Zsebibaba és Kanga egy szép háromszöget rajzoltak a patak partján a homokba. Zsebibaba lemérte az egyik magasságát, 9 cm volt. Kanga egy másik magasságnál 29 cm-t mért. A Magasságokat Mérő Medve lemérte a harmadik magasságot és az M cm volt (M egész). Mennyi M lehetséges legkisebb és legnagyobb értékének szorzata?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen  $P$  az  $ABC$  szabályos háromszög belső pontja.  $P$  merőleges vetülete a  $BC, CA$  és  $AB$  oldalakra rendre  $A_1, B_1$  és  $C_1$  . Tudjuk, hogy  $AC_1=4$  ,  $C_1B=8$  és  $BA_1=5$  . Mennyi  $CB_1\cdot B_1A$  ? 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Örzséjével hosszú órákat töltött János a császár csodás kertjében. A kertet öt egyenes, széles kocsiút szeli át. Bármely egyenes mentén, amely két kocsiút szögfelezője, halad egy gyalogösvény. Bárhol, ahol legalább két gyalogösvény keresztezi egymást, áll egy szökőkút. Máshol nem lehet szökőkút, csakkereszteződéseknél. Legfeljebb hány szökőkút lehet a császár parkjában?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Definiáljuk az a_n sorozatot a következo módon: $a_1=\sqrt{2}$, továbbá $a_n=\dfrac{\sqrt{3}a_n-1}{a_n+\sqrt{3}}$. Mennyi a sorozat 10. tagjának 10. hatványa? A válasz a kapott tört legegyszerubb alakjában a számláló és a nevezo összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A rókakölykök versengenek egymással a barlangban, vajon melyikük a legügyesebb és legokosabb. Szeretnének olyan, minél kisebb számot találni, aminek a négyzete a 2012 számsorozattal kezdődik. Természetesen Vuk találta meg a legkisebb ilyet. No de mi ez a szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Nehéz idők járnak a négy gengszterre: ha nem találják ki, melyik az a legnagyobb n egész, amelyre

$\dfrac{2\sqrt{n}+\sqrt{7}}{\sqrt{n}-2\sqrt{7}}$

értéke egész szám, mehetnek vissza a balettba ugrálni. Mi a válasz?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy majdnem szabályos H háromszög szögeinek nagysága 59,99°, 60° és 60,01°. Legyen H1 a H talpponti háromszöge, H2 a H1 talpponti háromszöge, és így tovább. Melyik a legkisebb n, melyre a Hn háromszög tompaszögű?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az  $ABC\triangle$  belső pontja  $P$  . Az  $AP$  egyenes a  $BC$  oldalt  $A_{1}$  -ben, a  $BP$  egyenes az  $AC$  oldalt  $B_{1}$  -ben metszi. Az  $APB_{1}\triangle$  területe 7, a  $BPA\triangle$  területe 8, az  $A_{1}PB\triangle$  területe pedig 9. Mekkora az  $ABC\triangle$  területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ispán tervszerűen fogott Döbrögi védelmének a megszervezéséhez. A vidék térké-pére illesztett egy $ 20\times 20$-as négyzetrácsot, amelynek pontjai közül bizonyosakat pirosra színezett, a többi pontot pedig kékre. Ha két, élben szomszédos rácspont egyforma színű volt, akkor a végpontjaikkal azonos színű szakasszal kötötte őket össze, ha pedig különböző volt a színük, akkor fekete színű szakasszal. A Lántsásokat ezután terepszínű kék dolmányban állította fel egyesével a kék szakaszok mentén.A piros pontok száma 219, közülük 39 a határra esett, de mind a 4 csúcs kék volt. A fekete szakaszok száma 237. Hány Lántsást állított az ispán?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A másik kérdéses sziget kör alakú. Ennek partján tíz kikötofalu, míg a belsejében öt további település található. A pápának most ezt a 15 települést kell szétosztania a portugálok és a spanyolok között úgy, hogy a szétosztás után mindkét ország létrehozhasson egy összefüggo szárazföldi úthálózatot a saját városai között, a következo kívánalmak szerint:

1. Portugál út ne menjen be spanyol városba és spanyol út se menjen portugál városba.

2. Portugál út sehol ne keresztezzen spanyol utat.

Hány olyen szétosztás van, amely megfelel ennek a feltételnek? (Az is lehet, hogy az összes települést egy ország kapja).

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A tündér házán vígan lobog a zászló: fehér alapon piros kereszt, amelynek a területe a zászló területének a 64 %-a. A keresztet alkotó két csík közös részének a területe a kereszt területének a 25 %-a. Legfeljebb hány %-a lehet a függőleges csík területe a zászló területének?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azt a két legkisebb pozitív egészet, amelynek 13-szorosát 7-es számrendszerben felírva az utolsó előtti számjegy 4, az utolsó számjegy pedig 3.
A válasz a két szám növekvő sorrendben, egymás után írva.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Gepetto mester tompaszögű háromszögeket farag. Egyik oldaluk 11cm, a másik 15 cm és a harmadik oldal mérőszáma is egész szám. Hány ilyen háromszög van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

"Az eddig oltalmazo erd}o nem rejtekhely tobbe." Az ősz bekoszontottevel az emberek nagy vadaszatot rendeztek. Az erdőt, amely egy konvex 101-szog, egymast nem metsző atlokkal felosztottak haromszogekre az eredmenyesseg erdekeben. Jelolje a az olyan haromszogek szamat, amelyeknek nincs kozos oldala a 101-szoggel, b az olyan haromszogek szamat, amelyeknek egy kozos oldala van a 101-szoggel, c pedig az olyan haromszogek szamat, amelyeknek ket kozos oldala van a 101-szoggel. Mennyi a²+b²+c² legkisebb lehetseges erteke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A  $P$  pont az  $ABCD$  négyzet síkjának egy olyan pontja, melyre teljesül, hogy a \linebreak  $PAB, PBC, PCD, PDA$  háromszögek mindegyike egyenlő szárú háromszög. Hány ilyen  $P$  pont van? (Nem számoljuk az elfajuló háromszögeket, melyeknek van  $ 0^{\circ}$  -os szöge.)
\emph{Ha a kapott szám  $n$  , a válasz  $\dfrac{n}{14}$  törtrésze tízezerszeresének egészrésze.}

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Samu, az egér elcsórta Safranek szolgálati polinomját, amely $p(x) = (x-1)(x-2)(x- 3)$ alakú. Ő tudja miért, de el akarja készíteni az összes olyan q(x) polinomot, amelyhez van olyan olyan harmadfokú g(x) polinom, hogy p(q(x)) = p(x)g(x). Hány ilyen polinomot készíthet?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az InterMouse új központjának alaprajza egy téglalap, amelyet biztonsági okokból az oldalaival párhuzamos egyenesekkel 16 kisebb téglalapra osztottak fel. Ezek közül néhánynak a kerületét kiszagolták a macskák és az ábrán (amely nem arányos) be is írták a megfelelő kis téglalapokba. Az üresen hagyott kis téglalapokba is beírva a kerületüket mennyi a 16 szám összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ornitológiai kutatások szerint a’ fót Lúd nem akárhogy sziszeg idegenre: a sziszegések száma mindíg nagyobb egynél és egyenlő e szám valódi osztóinak a szorzatával. Egyetlen idegen láttán a legkisebb ilyen számnyit sziszegi a’ fót Lúd, két idegenre a második legkisebbet, és így tovább. Hányat sziszeg a’ fót Lúd tíz idegenre?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy  $ 8\times 8$  -as sakktáblán  $f$  darab futót akarunk elhelyezni az alábbi feltételek szerint:

(i) semelyik két futó ne támadja egymást;

(ii)a táblán még el lehet helyezni egy királyt is úgy, hogy az ne legyen sakkban;

(iii) ez a király ne tudja leütni egyik futót sem, miközben a szabályok szerint lépeget a futók által nem fenyegetett mezőkön.

Milyen nagy lehet az  $f$  ?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba