Adott hét különböző prímszám. Válasszunk ki közülük az összes lehetséges módon kettőt, és vegyük a kiválasztott párok különbségeinek abszolútértékeit. Bizonyítsuk be, hogy az így keletkezett számok szorzata osztható $ 4320^2 $-nel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Rózi unatkozik a matematika órán, ezért a 30-nál nem nagyobb pozitív prímek közül kiválaszt három egymástól nem feltétlenül különböző $ p $, $ q $ és $ r $ számot, és kiszámítja a $ px^2 + qx + r = 0 $ másodfokú egyenlet gyökeit. Mely $ (p; q; r) $ számhármasokat választhatja Rózi, ha tudjuk, hogy egyenletének legalább az egyik gyöke egész szám? Hány megfelelő számhármas van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ AB $ átfogójú derékszögű háromszög harmadik csúcsa $ C $. Az $ A $ csúcsnál lévő belső szög felezője az $ M $, a külső szög felezője pedig az $ N $ pontban metszi az átfogóhoz tartozó magasságot, míg a $ B $ csúcsnál lévő belső szög felezője a $ P $, a külső szög felezője pedig a $ Q $ pontban metszi az átfogóhoz tartozó magasságot. Bizonyítsuk be, hogy

$ CM \cdot CN +CP\cdot CQ = AB^2. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba