


1. találat: Matematika emelt szintű érettségi, 2020. május I. rész, 1. feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_202005_1r01f ) Az $ \left\{a_n \right\}$ számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mme_201710_2r07f ) A Téglácska csokiszelet gyártója akciót indít: ha a szerencsés vásárló a csokiszelet csomagolásának belső oldalán a "Nyert" feliratot találja, akkor ezzel egy újabb szelet csokit nyert. A gyártó úgy reklámozza a termékét, hogy "minden ötödik csoki nyer". (Ez úgy tekinthető, hogy minden egyes csoki 0,2 valószínűséggel nyer.) a) Juli öt szelet csokoládét vásárol. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az öt szelet csoki között legalább egy nyerő csoki lesz? Pali is öt szelet csokoládét vásárolt, és végül hét szelet csokival tért haza a boltból, mert nyert még kettőt. b) Vizsgálja meg, hogy az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége! Egy másik akcióban a csokiszelet térfogatát $ 20\% $-kal megnövelték, de továbbra is változatlan áron adták. A csokiszelet téglatest alakú, az eredeti és a megnövelt szelet (matematikai értelemben) hasonló. Az akciós szelet 1 cm-rel hosszabb az eredeti csokiszeletnél. c) Határozza meg az eredeti csokiszelet hosszúságát! Válaszát egész cm-re kerekítve adja meg! a Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet, százalék) (Azonosító: mmk_201310_1r05f ) Egy országban egy választáson a szavazókorú népesség 63,5%-a vett részt. A győztes pártra a résztvevők 43,6%-a szavazott. Hány fős a szavazókorú népesség, ha a győztes pártra 4 152 900 fő szavazott? Válaszát indokolja! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_202205_1r01f ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) $ 9^{x+1}+15\cdot 3^x=6 $ b) $ \dfrac{1}{4}\cdot \sin \left( 2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\dfrac{1}{8}=0 $ Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201810_1r11f ) Egy számtani sorozat negyedik tagja 8, ötödik tagja 11. Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét! Megoldását részletezze! Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201710_1r03f ) Adja meg x értékét, ha $ 5^x=\left(5^2\cdot 5\cdot 5^4\right)^3 $ Témakör: *Geometria (Azonosító: mme_202210_2r06f ) Egy ingatlanhirdetésben sík területen fekvő legelőt kínálnak eladásra. A legelő alakja konvex négyszög, ennek csúcsait jelölje $ A $, $ B $, $ C $ és $ D $. A négyszög három oldala $ AB = 126\,m $, $ BC = 65\,m $, $ CD = 80\,m $, két szöge $ ABC\sphericalangle = 122,5^\circ $ és $ ADC\sphericalangle = 90^\circ $. A legelőt $ 0,9 $ hektár területűnek hirdeti az eladó. a) Hány százalékkal nagyobb a legelő valódi területe a meghirdetettnél? ($ 1\,ha = 10\,000\,m^2 $) Egy itatóvályú alakja háromszög alapú egyenes hasáb. Vízszintes helyzetében a vályú felül nyitott, a hasábnak ez a lapja párhuzamos a vízszintes talaj síkjával, a háromszög alakú lapok pedig a talaj síkjára merőlegesek. A szabályos háromszög alakú lemezek oldalai 38 cm hosszúak, a két téglalap alakú oldallap pedig 38 cm × 72 cm-es. A vízszintes helyzetű vályú kezdetben tele van vízzel. A vályú egyik végét megemeljük, ezért a víz egy része kifolyik belőle.
b) Igazolja, hogy ekkor a vályúban (egészre kerekítve) 15 liter víz van! A vályút ezután visszafektetjük eredeti, vízszintes helyzetébe.
Témakör: *Függvények ( szélsőérték, másodfokú, parabola) (Azonosító: mmk_201205_1r03f ) Adott a valós számok halmazán értelmezett $f(x)=(x+2)^2+4$ függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! Témakör: *Koordinátageometria (skaláris szorzat, skalárszorzat, koszinusztétel) (Azonosító: mmk_201305_2r14f ) A PQR háromszög csúcsai: P(–6; –1), Q(6; –6) és R(2; 5). a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201210_1r02f ) Két valós szám összege 29. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám? Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201810_1r04f ) Hol metszi a koordinátatengelyeket az $ x\rightarrow -2x+6\ (x\in \mathbb{R}) $ függvény grafikonja? Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201205_1r08f ) A testtömegindex kiszámítása során a vizsgált személy kilogrammban megadott tömegét osztják a méterben mért testmagasságának négyzetével. Számítsa ki Károly testtömegindexét, ha magassága 185 cm, tömege pedig 87 kg! Témakör: *Algebra ( arány) (Azonosító: mmk_201110_1r02f ) Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mmk_202005_1r02f ) Az alábbi ábra egy érettségiző évfolyam diákjainak a halmazát szemlélteti. $ A $ jelöli az angol nyelvből, $ B $ a biológiából, $ F $ pedig a fizikából érettségiző diákok halmazát. Színezze be az ábrának azt a részét, amely azon diákok halmazát jelöli, akik angol nyelvből és biológiából érettségiznek, de fizikából nem! Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202305_1r10f ) Adott a $ 2x + 5y = 19 $ egyenletű $ f $ egyenes. Adja meg az $ f $ egyenes és az $ y = 5 $ egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit! Témakör: *Kombinatorika (átlag) (Azonosító: mme_201410_2r05f ) A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.) a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 202 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt?
Témakör: *Függvények ( trigonometria) (Azonosító: mmk_201105_1r05f ) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: $f(x)= \sin x; \quad g(x)=\sin 3x$. Adja meg mindkét függvény értékkészletét! Témakör: *Algebra (kamatos kamat) (Azonosító: mme_201410_1r03f ) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel 2%-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! Témakör: *Geometria (Azonosító: mmk_201910_2r17f ) Az $ABCDEFGH$ kocka élhosszúsága 6 cm. a) Számítsa ki az ábrán látható $ABCDE$ gúla felszínét!
Egy 12 cm magas forgáskúp alapkörének sugara 6 cm. c) Mekkora szöget zár be a kúp alkotója az alaplappal? A fenti forgáskúpot két részre vágjuk az alaplap síkjával párhuzamos síkkal. Az alaplap és a párhuzamos sík távolsága 3 cm. d) Számítsa ki a keletkező csonkakúp térfogatát! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201710_1r04f ) Adott a g függvény: $g(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\ (x\in \mathbb{R}) $ a) Adjon meg egy olyan (nem nulla hosszúságú) intervallumot, amelyen a g mindegyik helyettesítési értéke negatív! c) Határozza meg az$ f:]-4;-1[ \rightarrow \mathbb{R}; f(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+12x+20 $ függvény minimumhelyét és a minimális függvényértéket! Témakör: *Halmazok (metszet, különbség) (Azonosító: mmk_201605_1r01f ) Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a $G \cap H$ és a $H \setminus G$ halmazokat! Témakör: *Statisztika ( átlag) (Azonosító: mmk_201305_1r02f ) Egy kis cégnél nyolcan dolgoznak: hat beosztott és két főnök. A főnökök átlagos havi jövedelme 190 000 Ft, a beosztottaké 150 000 Ft. Hány forint a cég nyolc dolgozójának átlagos havi jövedelme? Témakör: *Térgeomatria (százalék, analízis, szélsőérték, derivált, számtani-mértani közép) (Azonosító: mme_201705_2r06f ) Egy fémlemezből készült, forgáshenger alakú hordóban 200 liter víz fér el. a) Mekkora területű fémlemez kell a 80 cm magas, felül nyitott hordó elkészítéséhez, ha a gyártása során 12%-nyi hulladék keletkezik? Egy kisvállalkozásnál több különböző méretben is gyártanak 200 literes, forgáshenger alakú lemezhordókat. b) Mekkora annak a 200 liter térfogatú, felül nyitott forgáshengernek a sugara és magassága, amelynek a legkisebb a felszíne? Témakör: *Geometria (Azonosító: mmk_202305_2r18f ) A vázlatos ábra egy szántóföld felosztását mutatja az öt tulajdonos között. Szeretnénk elkészíteni a szántóföldhöz tartozó szomszédsági gráfot, amelyben két csúcs pontosan akkor van összekötve éllel, ha a két csúcs által jelölt földterület szomszédos. (Két földterület szomszédos, ha van közös határolószakasza.)
A négyszögöl a mai napig használt (nem hivatalos) mértékegység a telkek, szántóföldek területének mérésére. 1 négyszögöl egyenlő az 1 öl oldalhosszúságú négyzet területével. Tudjuk, hogy egy hektár (10 000 m2) kb. 2780 négyszögöl.
Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mmk_202305_1r02f ) 26. találat: Matematika középszintű érettségi, 2018. október II. rész, 17. feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201810_2r17f ) Barnabás telefonján a képernyő átlója $ 5,4\ col $ $ (1\ col \approx 25,4\ mm) $, a képernyő oldalainak aránya $ 16 : 9 $. A telefon téglalap alakú előlapján a képernyő alatt és felett $ 12-12 mm$, két oldalán $ 3-3 mm $ szélességű szegély van. a) Mekkorák a telefon előlapjának oldalai? Válaszát egész mm-re kerekítve adja meg! Az írásbeli érettségi vizsga megkezdése előtt a felügyelő tanár megkéri a vizsgázókat, hogy telefonjaikat kikapcsolt állapotban tegyék ki a tanári asztalra. Általános tapasztalat, hogy egy-egy diák a "vizsgaláz" miatt 0,02 valószínűséggel bekapcsolva felejti a telefonját. b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a teremben lévő 12 vizsgázó közül legalább egy bekapcsolva felejti a telefonját? A vizsgateremben lévő 12 egyszemélyes pad négy egymás melletti oszlopba van rendezve. Mindegyik oszlopban három egymás mögötti pad áll. Julcsi és Tercsi jó barátnők, elhatározzák, hogy a vizsgán két egymás melletti padba ülnek. (Például ha Julcsi a B-vel jelölt padban ül, akkor Tercsi az A vagy C jelű padot foglalja el.) c) Hányféleképpen ülhet le a 12 vizsgázó a teremben úgy, hogy Julcsi és Tercsi valóban két egymás melletti padban üljön? Az iskolában érettségiző 100 tanuló matematika írásbeli érettségi vizsgájának pontszámairól készült összesítést mutatja a táblázat. d) A táblázat alapján mennyi a 100 tanuló pontszámának lehetséges legmagasabb átlaga? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mme_201805_2r05f ) Az ábrán egy $ 3\times 3 $-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható.
A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csúcsai (A1, A2, ... , C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymáshoz a teljesen kirakott képben. a) Rajzolja fel a kirakós játék gráfját (a csúcsok azonosításával együtt), és határozza meg a gráfban a fokszámok összegét! b) Igazolja, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan (gráfelméleti) kör, amely páratlan sok élből áll! c) A teljesen kirakott képen jelöljön meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakósjáték általuk alkotott részlete (a részletnek megfelelő gráf) már ne legyen összefüggő!
d) Hányféleképpen lehet a puzzle-elemek közül hármat úgy kiválasztani, hogy ezek a teljesen kirakott képben kapcsolódjanak egymáshoz (azaz mindhárom képrészlet közvetlenül kapcsolódjék legalább egy másikhoz a kiválasztottak közül)? (Az elemek kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel.) Témakör: *Geometria (Azonosító: mmk_201910_2r15f ) a) Egy számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 8. A sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 9. Adja meg a sorozat első tíz tagjának összegét! b) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm-rel, a másik 9 cm-rel rövidebb, mint az átfogó. Mekkorák a háromszög oldalai? Témakör: *Trigonometria (egyenlet) (Azonosító: mmk_201705_1r10f ) Oldja meg az alábbi egyenletet a $ [0; 2\pi] $ intervallumon! $ \cos x=0,5 $
Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202005_1r03f ) A 2 hányadik hatványával egyenlő az alábbi kifejezés? $ \dfrac{2^7\cdot \left(2^3 \right)^4}{2^5} $
|
|||||
|