Az $ \left\{a_n \right\}$ számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
a) Adja meg a sorozat ötödik tagját!
A $ \left\{ b_n \right\} $ mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
b) Adja meg a sorozat ötödik tagját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Téglácska csokiszelet gyártója akciót indít: ha a szerencsés vásárló a csokiszelet csomagolásának belső oldalán a "Nyert" feliratot találja, akkor ezzel egy újabb szelet csokit nyert. A gyártó úgy reklámozza a termékét, hogy "minden ötödik csoki nyer". (Ez úgy tekinthető, hogy minden egyes csoki 0,2 valószínűséggel nyer.)

a) Juli öt szelet csokoládét vásárol. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az öt szelet csoki között legalább egy nyerő csoki lesz?

Pali is öt szelet csokoládét vásárolt, és végül hét szelet csokival tért haza a boltból, mert nyert még kettőt.

b) Vizsgálja meg, hogy az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége!
I. Ha valaki megvásárol öt szelet csokit, akkor azok között két nyerő csoki lesz, de a két nyereménycsoki egyike sem nyer.
II. Ha valaki megvásárol öt szelet csokit, akkor azok között egy nyerő csoki lesz, a nyereménycsoki nyer egy hetedik szelet csokit, de az már nem nyer.

Egy másik akcióban a csokiszelet térfogatát $ 20\% $-kal megnövelték, de továbbra is változatlan áron adták. A csokiszelet téglatest alakú, az eredeti és a megnövelt szelet (matematikai értelemben) hasonló. Az akciós szelet 1 cm-rel hosszabb az eredeti csokiszeletnél.

c) Határozza meg az eredeti csokiszelet hosszúságát! Válaszát egész cm-re kerekítve adja meg! a

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy országban egy választáson a szavazókorú népesség 63,5%-a vett részt. A győztes pártra a résztvevők 43,6%-a szavazott. Hány fős a szavazókorú népesség, ha a győztes pártra 4 152 900 fő szavazott? Válaszát indokolja!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!

a) $ 9^{x+1}+15\cdot 3^x=6 $

b) $ \dfrac{1}{4}\cdot \sin \left( 2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\dfrac{1}{8}=0 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy számtani sorozat negyedik tagja 8, ötödik tagja 11. Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét! Megoldását részletezze!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg x értékét, ha $ 5^x=\left(5^2\cdot 5\cdot 5^4\right)^3 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy ingatlanhirdetésben sík területen fekvő legelőt kínálnak eladásra. A legelő alakja konvex négyszög, ennek csúcsait jelölje $ A $, $ B $, $ C $ és $ D $. A négyszög három oldala $ AB = 126\,m $, $ BC = 65\,m $, $ CD = 80\,m $, két szöge $ ABC\sphericalangle = 122,5^\circ $ és $ ADC\sphericalangle = 90^\circ $. A legelőt $ 0,9 $ hektár területűnek hirdeti az eladó.

a) Hány százalékkal nagyobb a legelő valódi területe a meghirdetettnél? ($ 1\,ha = 10\,000\,m^2 $)

Egy itatóvályú alakja háromszög alapú egyenes hasáb. Vízszintes helyzetében a vályú felül nyitott, a hasábnak ez a lapja párhuzamos a vízszintes talaj síkjával, a háromszög alakú lapok pedig a talaj síkjára merőlegesek.

A szabályos háromszög alakú lemezek oldalai 38 cm hosszúak, a két téglalap alakú oldallap pedig 38 cm × 72 cm-es.

A vízszintes helyzetű vályú kezdetben tele van vízzel. A vályú egyik végét megemeljük, ezért a víz egy része kifolyik belőle.

A vályúban ekkor a vízfelszín a bal oldali szabályos háromszög alsó csúcsától a jobb oldali szabályos háromszög felső éléig ér, ahogyan az ábra mutatja.

b) Igazolja, hogy ekkor a vályúban (egészre kerekítve) 15 liter víz van!

A vályút ezután visszafektetjük eredeti, vízszintes helyzetébe.

c) Hány cm magasan áll a víz a vályúban ekkor?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a valós számok halmazán értelmezett $f(x)=(x+2)^2+4$  függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A PQR háromszög csúcsai: P(–6; –1), Q(6; –6) és R(2; 5).

a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét!

b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két valós szám összege 29. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hol metszi a koordinátatengelyeket az $ x\rightarrow -2x+6\  (x\in \mathbb{R}) $ függvény grafikonja?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A testtömegindex kiszámítása során a vizsgált személy kilogrammban megadott tömegét osztják a méterben mért testmagasságának négyzetével. Számítsa ki Károly testtömegindexét, ha magassága 185 cm, tömege pedig 87 kg!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az alábbi ábra egy érettségiző évfolyam diákjainak a halmazát szemlélteti. $ A $ jelöli az angol nyelvből, $ B $ a biológiából, $ F $ pedig a fizikából érettségiző diákok halmazát. Színezze be az ábrának azt a részét, amely azon diákok halmazát jelöli, akik angol nyelvből és biológiából érettségiznek, de fizikából nem!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a $ 2x + 5y = 19 $ egyenletű $ f $ egyenes. Adja meg az $ f $ egyenes és az $ y = 5 $ egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.)

a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen!

Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 202 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt.

b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: $f(x)= \sin x; \quad g(x)=\sin 3x$. Adja meg mindkét függvény értékkészletét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel 2%-ával csökken.

a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő!

A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással.

b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ABCDEFGH$ kocka élhosszúsága 6 cm.

a) Számítsa ki az ábrán látható $ABCDE$ gúla felszínét!

b) Fejezze ki az $\overrightarrow{EC}$ vektort az $\overrightarrow{AB}$ , az $\overrightarrow{AD}$ és az $\overrightarrow{AE}$ vektorok segítségével!

Egy 12 cm magas forgáskúp alapkörének sugara 6 cm.

c) Mekkora szöget zár be a kúp alkotója az alaplappal?

A fenti forgáskúpot két részre vágjuk az alaplap síkjával párhuzamos síkkal. Az alaplap és a párhuzamos sík távolsága 3 cm.

d) Számítsa ki a keletkező csonkakúp térfogatát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a g függvény: $g(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\ (x\in \mathbb{R}) $

a) Adjon meg egy olyan (nem nulla hosszúságú) intervallumot, amelyen a g mindegyik helyettesítési értéke negatív!
b) Határozza meg a c lehetséges értékeit úgy, hogy $ \int \limits_0^c g(x)\ dx=0 $ teljesüljön!

c) Határozza meg az$ f:]-4;-1[ \rightarrow \mathbb{R}; f(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+12x+20 $ függvény minimumhelyét és a minimális függvényértéket!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a $G \cap H$ és a $H \setminus G$ halmazokat!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kis cégnél nyolcan dolgoznak: hat beosztott és két főnök. A főnökök átlagos havi jövedelme 190 000 Ft, a beosztottaké 150 000 Ft. Hány forint a cég nyolc dolgozójának átlagos havi jövedelme?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy fémlemezből készült, forgáshenger alakú hordóban 200 liter víz fér el.

a) Mekkora területű fémlemez kell a 80 cm magas, felül nyitott hordó elkészítéséhez, ha a gyártása során 12%-nyi hulladék keletkezik?

Egy kisvállalkozásnál több különböző méretben is gyártanak 200 literes, forgáshenger alakú lemezhordókat.

b) Mekkora annak a 200 liter térfogatú, felül nyitott forgáshengernek a sugara és magassága, amelynek a legkisebb a felszíne?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A vázlatos ábra egy szántóföld felosztását mutatja az öt tulajdonos között. Szeretnénk elkészíteni a szántóföldhöz tartozó szomszédsági gráfot, amelyben két csúcs pontosan akkor van összekötve éllel, ha a két csúcs által jelölt földterület szomszédos. (Két földterület szomszédos, ha van közös határolószakasza.)

a) Rajzolja fel ehhez a szántóföldhöz a szomszédsági gráfot!

A négyszögöl a mai napig használt (nem hivatalos) mértékegység a telkek, szántóföldek területének mérésére. 1 négyszögöl egyenlő az 1 öl oldalhosszúságú négyzet területével. Tudjuk, hogy egy hektár (10 000 m2) kb. 2780 négyszögöl.
b) Számítsa ki, hogy egy öl hány méter!
Egy falu vezetése úgy dönt, hogy a falu határában egy sík területet felparcelláznak 12 egyforma telekre, és ezen a területen a faluban letelepülő fiatal családoknak jelképes, 1 Ft-os áron adnak el 1-1 telket. Az akcióra végül 14 család jelentkezik (köztük a Kovács és a Szabó család), ezért a 14 család közül sorsolják ki a 12 nyertest.
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a Kovács és a Szabó család is a nyertesek között lesz! Az alábbi ábra vázlatosan mutatja a 12 egybevágó, téglalap alakú telek elhelyezkedését. Végül a nyertesek közé bekerült két, egymással jó viszonyban lévő  család, akik úgy döntöttek, hogy két szomszédos telket vesznek meg, és a két telek köré úgy építenek kerítést, hogy a két telket nem választják el egymástól kerítéssel. Tudjuk, hogy ha a két szomszédos telek a rövidebb oldalával csatlakozik egymáshoz, akkor 228 méter kerítésre, ha a hosszabb oldallal csatlakozik egymáshoz, akkor 156 méter kerítésre lesz szükségük összesen. (Az ábrán vastag vonallal jelöltük a kerítést a két esetben.)

d) Mekkora egy telek területe?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány éle van egy hétpontú teljes gráfnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Barnabás telefonján a képernyő átlója $ 5,4\ col $  $ (1\ col \approx 25,4\ mm) $, a képernyő oldalainak aránya $ 16 : 9 $. A telefon téglalap alakú előlapján a képernyő alatt és felett $ 12-12 mm$, két oldalán $ 3-3 mm $ szélességű szegély van.

a) Mekkorák a telefon előlapjának oldalai? Válaszát egész mm-re kerekítve adja meg!

Az írásbeli érettségi vizsga megkezdése előtt a felügyelő tanár megkéri a vizsgázókat, hogy telefonjaikat kikapcsolt állapotban tegyék ki a tanári asztalra. Általános tapasztalat, hogy egy-egy diák a "vizsgaláz" miatt 0,02 valószínűséggel bekapcsolva felejti a telefonját.

b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a teremben lévő 12 vizsgázó közül legalább egy bekapcsolva felejti a telefonját?

A vizsgateremben lévő 12 egyszemélyes pad négy egymás melletti oszlopba van rendezve. Mindegyik oszlopban három egymás mögötti pad áll. Julcsi és Tercsi jó barátnők, elhatározzák, hogy a vizsgán két egymás melletti padba ülnek. (Például ha Julcsi a B-vel jelölt padban ül, akkor Tercsi az A vagy C jelű padot foglalja el.)

c) Hányféleképpen ülhet le a 12 vizsgázó a teremben úgy, hogy Julcsi és Tercsi valóban két egymás melletti padban üljön?

Az iskolában érettségiző 100 tanuló matematika írásbeli érettségi vizsgájának pontszámairól készült összesítést mutatja a táblázat.

d) A táblázat alapján mennyi a 100 tanuló pontszámának lehetséges legmagasabb átlaga?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ábrán egy $ 3\times 3 $-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható.

A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csúcsai (A1, A2, ... , C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymáshoz a teljesen kirakott képben.

a) Rajzolja fel a kirakós játék gráfját (a csúcsok azonosításával együtt), és határozza meg a gráfban a fokszámok összegét!

b) Igazolja, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan (gráfelméleti) kör, amely páratlan sok élből áll!

c) A teljesen kirakott képen jelöljön meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakósjáték általuk alkotott részlete (a részletnek megfelelő gráf) már ne legyen összefüggő!

d) Hányféleképpen lehet a puzzle-elemek közül hármat úgy kiválasztani, hogy ezek a teljesen kirakott képben kapcsolódjanak egymáshoz (azaz mindhárom képrészlet közvetlenül kapcsolódjék legalább egy másikhoz a kiválasztottak közül)? (Az elemek kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 8. A sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 9. Adja meg a sorozat első tíz tagjának összegét!

b) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm-rel, a másik 9 cm-rel rövidebb, mint az átfogó. Mekkorák a háromszög oldalai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg az alábbi egyenletet a $ [0; 2\pi] $ intervallumon!

$ \cos x=0,5 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A 2 hányadik hatványával egyenlő az alábbi kifejezés?

$ \dfrac{2^7\cdot \left(2^3 \right)^4}{2^5} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba