Egy körlapot fele akkora átmérőjű körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg legkevesebb számú körlappal?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD paralelogramma belsejében felvett $P$ ponton át húzzunk a paralelogramma oldalaival párhuzamos egyeneseket, és messék ezek a paralelogramma AB, BC, CD és DA oldalát rendre $Q$, $R$, $S$ és $T$ pontban. Tükrözzük $P$-t az ABCD paralelogramma középpontjára nézve, és jelöljük $P$ tükörképét $P$'-vel. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett APCP' paralelogramma területe egyenlő a PRBQ és PSDT paralelogrammák területének különbségével.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $A_{1}B_{1}C_{1}$ hegyesszögű háromszög. Szerkesztendő az ABC háromszög azzal a feltétellel, hogy az $A_{1}$ pont a BC oldal fölé kifelé rajzolt szabályos háromszög csúcspontja, hasonlóképpen a $B_{1}$ és $C_{1}$ pont a CA és AB oldal fölé kifelé rajzolt szabályos háromszög csúcspontja.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy ha két hatszög oldalainak felezőpontjai rendre megegyeznek, akkor a két hatszög területe egyenlő.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az ABCD téglalap. Az $A$-ból, $B$-ből, $C$-ből, illetve $D$-ből induló AB, BC, CD, illetve DA félegyenesen rendre kijelöljük az $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, illetve $D_{1}$ pontot úgy, hogy

teljesüljön. A $k$ szám milyen értékére lesz az $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög területe minimális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD négyszög belsejében úgy helyezkedik el a $P$ pont, hogy az ABPD négyszög paralelogramma Igazoljuk, hogy ha $CDP\angle =PBC\angle $, akkor $DCP\angle =ACB\angle $!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy a konvex négyszögek közül csak a paralelogrammáknak van meg az a tulajdonságuk, hogy mind a négy csúcs esetében ugyanakkora összeget kapunk, ha a csúcsnak a rajta át nem haladó oldalegyenesektől való távolságait összeadjuk.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egyenes két megadott kört az $A$, illetve $B$ pontokban érint, továbbá mindkét kört belülről érinti egy harmadik kör a $D$, illetve $C$ pontokban. Igazoljuk, hogy $A$, $B$, $C$ és $D$ egy körön fekszenek!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az ABC háromszög síkjában a háromszög oldalegyeneseire nem illeszkedő $O$ pont. Húzzunk az $O$ ponton át a háromszög oldalaival párhuzamosan egyeneseket, ezek a háromszög másik két oldalegyenesét egy-egy pontban metszik! Az $O$ pont és az egy-egy oldalegyenesen fekvő 2 metszéspont három háromszöget határoz meg. Fejezzük ki az ABC háromszög területét ezeknek a háromszögeknek a területével!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy ha egy trapéz átlói merőlegesek, akkor szárainak szorzata legalább akkora, mint a párhuzamos oldalak szorzata.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszögben a $C$ csúcsnál derékszög van. A $B$ csúcsból induló szögfelező a $C$-ből induló magasságot $F$-ben, az AC oldalt $G$-ben metszi. Húzzunk párhuzamost $F$-en át az AC oldallal, ez az AB oldalt $H$-ban metszi. Igazoljuk, hogy az FCGH négyszög rombusz!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy rácstéglalapot, amelyiknek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, $ 1 2$ területű rácsháromszögekre bontunk. Bizonyítandó, hogy a háromszögek között legalább kétszer annyi derékszögű van, mint a téglalap rövidebb oldalának a hossza. (Egy sokszög rácssokszög, ha valamennyi csúcsának mindkét koordinátája egész szám.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje az ABC háromszög beírt körének középpontját $O$, BC oldalának felezőpontját $F$. Messe az FO egyenes az $A$ csúcsból induló magasságot $P$-ben. Bizonyítsuk be, hogy az AP szakasz hossza a háromszögbe írt kör sugarával egyenlő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje egy paralelogramma két szomszédos oldalának az arányát $\lambda $ (ahol $\lambda >1)$. Határozzuk meg, hogy hogyan függ $\lambda $-tól az átlók közti hegyesszög legnagyobb lehetséges értéke.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy ha egy téglalap oldalainak hossza $a$ és $a$+1, akkor $a$ téglalap szögfelezői által határolt síkidom területe független az $a$ értékétől.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy paralelogramma kerülete $K$, az oldalak felezőpontja által meghatározott négyszög kerülete pedig $k$. Bizonyítsuk be, hogy ha a paralelogramma egyik szöge 60\r{ } -os, akkor $\dfrac{k}{K}\ge \dfrac{1+\sqrt 3 }{4}$!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A konvex PQRS négyszög minden csúcsának mindkét koordinátája egész szám. A négyszög átlóinak metszéspontja legyen $E$. Bizonyítsuk be, hogy ha a négyszög $P$ és $Q$ csúcsánál levő szögeinek összege 180\r{ }-nál kisebb, akkor a PQE háromszög tartalmaz a belsejében vagy a határán olyan $P$-től és $Q$-tól különböző pontot, amelynek szintén egészek a koordinátái.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy ha az ABCD konvex négyszög belsejében van olyan $P$ pont, hogy a PAB, PBC, PCD, PDA háromszögek egyenlő területűek, akkor a négyszög valamelyik átlója felezi a négyszög területét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $A_1 B_1 A_2 $, $B_1 A_2 B_2 $, $A_2 B_2 A_3 $, ... , $B_{13} A_{14} B_{14} $, $A_{14} B_{14} A_1 $, $B_{14} A_1 B_1 $ egymáshoz csatlakozó merev szabályos háromszöglapok, amelyek az $A_1 B_1 $, $B_1 A_2 $, {\ldots} , $A_{14} B_{14} $, $B_{14} A_1 $ élek mentén hajtogathatók. Elvégezhető-e a hajtogatás úgy, hogy a 28 háromszöglap egy síkban legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a térben egy egész oldalhosszúságú kocka, amelyről tudjuk, hogy az egyik lapján levő négy csúcs koordinátái valamennyien egész számok. Bizonyítandó, hogy a másik négy csúcs koordinátái is egész számok.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba